关于混合型双曲（抛物）—抛物型方程的初边值问题
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摘要
这篇文章主要研究的是混合型方程的初边值问题,混合型方程是偏微分方程中特殊的研究方向之一,也是偏微分方程的一个推广.国内外的学者在这方面做出了杰出的贡献.关于混合型方程在未知边界问题上的初边值问题,是这篇文章的重要部分.这篇文章分五部分阐述了这些问题.
第一部分,讲述了混合型方程的研究背景,研究现状及研究意义.
第二部分,介绍了本文所用到的预备知识.
第三部分,给出了n+ 1维混合型双曲——抛物方程的Cauchy问题.
第一节,问题的提出.
第二节,讨论了问题解的先验模估计以及解的唯一性和连续依赖性,得到了本文的定理3.2.1,定理3.2.2,定理3.2.3,定理3.2.4,定理3.2.5,定理3.2.6.
第三节,先给出了τ( x )和γ( x)存在唯一性,在利用级数的收敛性定理证明了问题解的存在性,得到了文中的定理3.3.1,定理3.3.2.
第四部分,讨论了一类混合型方程的未知边界问题.
第一节,首先提出问题.
第二节,研究了问题在区域D = D1∪D2上解的唯一性.得到了文中的定理4.2.1,定理4.2.1.
第五部分,这是这篇文章的重要组成部分,主要研究的是混合型抛物—半抛物型方程的未知边界问题.
第一节,提出问题.
第二节,讨论了问题在不同区域上解的唯一性,得到了文中的定理5.1.1,定理5.1.2.
第三节,根据Green公式,导出问题的积分形式解,在利用不动点原理,证明问题解的存在性.得到了文中的定理5.2.1,定理5.2.2.
In this paper we study the initial boundary value problem of the mixed type equation, which is one of the special study directions in partial differential equation .Much fruitful research work have been made by many scholars at home and abroad on this respect .The problem on changing boundary and non-local peoblem is an important and interesting issue. This paper is divided into five parts to discuss these issues.
In part1, we describes the research background,the present research situation and the research meaning of the mixed type equation.
In part2, we introduce the preliminary knowledge concerning the article.
In part3, we state the dimensional mixed hyperbolic– parabolic of Cauchy problems.
In Section 1, we state of the problem.
In Section2, we discussed the prior model solution for the problem and the solution estimates, uniqueness and stability, by Theorem 3.2.1 of this paper, Theorem 3.2.2, Theorem 3.2.3, Theorem 3.2.4, Theorem 3.2. 5, Theorem 3.2.6.
In Section3, we gives the existence and uniqueness, in the use of the convergence theorem of series solution for the problem have proved the existence of the text in the Theorem by 3.3.1, Theorem 3.3.2.
In part4,we discussed a class of mixed-type equation by the boundary problem.
In Section 1,we first of all ask questions.
In Section2,we state the problem in the region on the solution uniqueness. Has been the text in the Theorem 4.2.1, Theorem 4.2.1.
In part5, this is an important part of this article, the main research is mixed parabolic - semi-parabolic equation by the boundary problem.
In Section 1, we ask questions.
In Section 2,we discusses the problem in different regions of the uniqueness of the solution was to get the text in the Theorem 5.1.1, Theorem 5.1.2.
In Section 3, we according to Green formula, the problem of integral solutions obtained, reasonable use of the fixed point theorem, was proved the existence of Solutions. Get the text in the Theorem 5.2.1, Theorem 5.2.2.
第一部分,讲述了混合型方程的研究背景,研究现状及研究意义.
第二部分,介绍了本文所用到的预备知识.
第三部分,给出了n+ 1维混合型双曲——抛物方程的Cauchy问题.
第一节,问题的提出.
第二节,讨论了问题解的先验模估计以及解的唯一性和连续依赖性,得到了本文的定理3.2.1,定理3.2.2,定理3.2.3,定理3.2.4,定理3.2.5,定理3.2.6.
第三节,先给出了τ( x )和γ( x)存在唯一性,在利用级数的收敛性定理证明了问题解的存在性,得到了文中的定理3.3.1,定理3.3.2.
第四部分,讨论了一类混合型方程的未知边界问题.
第一节,首先提出问题.
第二节,研究了问题在区域D = D1∪D2上解的唯一性.得到了文中的定理4.2.1,定理4.2.1.
第五部分,这是这篇文章的重要组成部分,主要研究的是混合型抛物—半抛物型方程的未知边界问题.
第一节,提出问题.
第二节,讨论了问题在不同区域上解的唯一性,得到了文中的定理5.1.1,定理5.1.2.
第三节,根据Green公式,导出问题的积分形式解,在利用不动点原理,证明问题解的存在性.得到了文中的定理5.2.1,定理5.2.2.
In this paper we study the initial boundary value problem of the mixed type equation, which is one of the special study directions in partial differential equation .Much fruitful research work have been made by many scholars at home and abroad on this respect .The problem on changing boundary and non-local peoblem is an important and interesting issue. This paper is divided into five parts to discuss these issues.
In part1, we describes the research background,the present research situation and the research meaning of the mixed type equation.
In part2, we introduce the preliminary knowledge concerning the article.
In part3, we state the dimensional mixed hyperbolic– parabolic of Cauchy problems.
In Section 1, we state of the problem.
In Section2, we discussed the prior model solution for the problem and the solution estimates, uniqueness and stability, by Theorem 3.2.1 of this paper, Theorem 3.2.2, Theorem 3.2.3, Theorem 3.2.4, Theorem 3.2. 5, Theorem 3.2.6.
In Section3, we gives the existence and uniqueness, in the use of the convergence theorem of series solution for the problem have proved the existence of the text in the Theorem by 3.3.1, Theorem 3.3.2.
In part4,we discussed a class of mixed-type equation by the boundary problem.
In Section 1,we first of all ask questions.
In Section2,we state the problem in the region on the solution uniqueness. Has been the text in the Theorem 4.2.1, Theorem 4.2.1.
In part5, this is an important part of this article, the main research is mixed parabolic - semi-parabolic equation by the boundary problem.
In Section 1, we ask questions.
In Section 2,we discusses the problem in different regions of the uniqueness of the solution was to get the text in the Theorem 5.1.1, Theorem 5.1.2.
In Section 3, we according to Green formula, the problem of integral solutions obtained, reasonable use of the fixed point theorem, was proved the existence of Solutions. Get the text in the Theorem 5.2.1, Theorem 5.2.2.
引文
[1]石兰芳.一类双曲-抛物型方程的广义解[J].南京气象学学报,2006,29(6):429～433.
[2]刘亚成,刘洋.半线性双曲方程和抛物方程解整体存在和不存在的两个门槛结果[J].黑龙江大学自然科学学报,2008,25(6):875～878.
[3]倪星棠.关于一类三阶混合型方程和变系数双曲型方程的边值问题[J].数学杂志,1995,15(3):273～278.
[4]倪星棠.一类三阶抛物双曲混合型偏微分方程的边值问题[J].数学学报,1994,37(5):632～638.
[5]蒋桂凤.一类混合型椭圆-双曲型方程的正对称性的证明与推广[J].台州学院学报,2007,29(6):7～10.
[6]闻国椿.二阶拟线性混合(椭圆一双曲)型方程的Frankl问题[J].应用数学学报,2001,24(2):204～211.
[7]王峥,徐宝林.三阶非线性偏微分方程初边值问题解的存在性[J].哈尔滨师范大学自然科学学报,2008,24(6):32～34.
[8]李雪臣,汪留松.一类拟抛物型方程的初边值问题[J].河南城建高等专科学校学报,1999,8(2):31～37.
[9]闻国椿,张福元.二阶拟线性混合型方程的间断斜微商问题[J].数学进展,2000,29(6):554～562.
[10]马忠泰,许广山,闻国椿.拟线性混合方程的不连续边值问题[J].数学物理学报,2007,27A(4):720～726.
[11]闻国椿.带抛物退化线的混合(椭圆-双曲)型方程[J].宁夏大学学报,2003,24(3):196～198.
[12]闻国椿.二阶拟线性退化混合型方程的斜微商问题[J].北京大学学报,2006,42(3):285～293.
[13]马忠泰.混合型方程的斜微商边值问题[J].山东工商学院学报,2006:22(1),40～47.
[14]肖黎明.一般二阶混合型方程[J].贵州师范大学学报,1994,12(2):40～44.
[15]丁夏畦,严国政.一个拟线性抛物型方程组的研究[J].数学物理学报,1994,14(3):246～254.
[16]张宪植.一个双混合型偏微分方程[J].昆明师专学报,1988,5(1):14～22.
[17]孙龙祥.一类二阶混合型方程的边值问题[J].中国科学A辑,1987,(7):673～682.
[18]高存臣,石心坦,衣春林.变系数混合型方程的振动性[J].合肥工业大学学报,1994,17(2):83～89.
[19]孙和生.高维混合型方程的边值问题[J].数学进展,1984,13(3):207～212.
[20]洪家兴.混合型方程边值问题解的存在性[J].复旦学报,1981,(3):433～440.
[21]孙广成.高阶半线性混合型方程的定解问题[J].石油大学学报,1992,16(3):99～104.
[22]Т.д.джураев,м.х.акбарова,неокалъныезадачидлясмешанно-параболическогоУРАВНЕНИЯ[J].УЗМЖ.1993.2.C16—25.
[23]Кαиров.Ф.а,ЗадαчαТипαСтефαнαдляпαрαбо-ло-гиперболическогоурαвненеяснелинейнымгрαничнымусловиями.//[J]АШГТРЫЛЫМ.1995.C121—125.
[24]Тαхиров.ж.О.ЗаЙαчαСосвобонойГрαницейляполулинейныхпαрбо-лескихурαвнений//Труды[J].ИТМ.АШГ1995.C73—78.
[25]Xiaoket Kader. Not local regional task for the nonlinear parabolic equation[J]. Modern Problems of Applied Mathematics and Information Technologies-Al Khorezmiy , 2009,(1): 34～37.
[26]БердышевА.С.,РахматуллаеваН.А.Нелокальнаязадачасотходомотхарактерис-тикидляпараболо-гиперболическогоуравнениястремялиниямиизменениятипа[J].АктуальныеПроблемыПрикладнойМатематикииИнформационныхТехнологий-АльХорезми,2009,(1) : 58～60.
[27]РузиевШ.Н.Энергетическиеоценкиобобщенногорешенияэллиптико-параболическогоуравнениявторогопорядкавнеограниченнойобласти[J].АктуальныеПроблемыПрикладнойМатематикииИнформационныхТехнологий-АльХорезми,2009,(1) : 91～93.
[28]СалахитдиновМ.С.,МамадалиевН.К.ОновомподходекрешениюзадачиТрикомидляуравненияэллиптико-гиперболическоготипа[J].АктуальныеПроблемыПрикладнойМатематикииИнформационныхТехнологий-АльХорезми,2009,(1) : 105～108.
[29]АбуталиевФ.Б.,УсмановР.Н.Интеграцияпринциповтеориинечеткихмножестввразвитииметодологиимоделированиягидрогеологическихпроцессов[J].АктуальныеПроблемыПрикладнойМатематикииИнформационныхТехнологий-АльХорезми,2009,(1) : 179～180.
[30]АндасбаевЕ.С.Экономико-математическаямодельуправленияпроцессовраспространениязагрязнителейвчисленныхметодах[J].АктуальныеПроблемыПрикладнойМатематикииИнформационныхТехнологий-АльХорезми,2009,(1) : 182～183.
[31]М.买买江努夫,Д.哈利木拉托夫.关于四阶混合型双曲-抛物型方程初边值问题.非经典数学物理方程.ccp[M].乌兹别克斯坦《科学》,1988.1-192.
[32]肖开提·卡得尔.关于一般形式的线性双曲抛物型方程的边值问题[J].乌兹别克斯坦数学学报,1995.105～109.
[33]肖开提·卡得尔.关于四阶混合型双曲-抛物型方程变动边界问题[J].土库曼斯坦数学学报,1995,(1):165-168.
[34]В.И.Жегалов.关于一类偏微分方程边值问题[J].俄罗斯国际数学研讨会论文集.2003,(1):119-123.
[35]О.С.Зикиров关于一类四阶偏微分方程初边值问题[J].俄罗斯国际数学研讨会论文集.2003,(1):131-134.
[36]КамынинЛ.И.关于变系数抛物型方程的热位势方程[J].新西比利亚数学杂志.1983,(5):1071-1105.
[37]ЙилинаА.М.,КалашниковA.C.,АлыйникO.A.二阶线性抛物型方程[J].成果,数学,科学.1992.ТомXVⅡ.BbⅢ.3.c.3-141.
[38]肖开提·卡得尔.三阶混合型双曲抛物型方程的非局部问题[J].新疆:新疆师范大学学报,1996. 7～10.
[39]肖开提·卡得尔,肖合热提·伊不拉音,伊力夏提·吾买尔.一类混合型拟线性双曲抛物型方程的非线性边界问题[J].新疆师范大学学报,2002,21(2):4～7.
[40]T.Д.ДАНУРАЕВ,М.Х.АКБАРОВА.乌兹别克数学学报,1993. 16～25.
[41]胡学刚,穆春来.数学物理方程[M].北京:机械工业出版社,2007.
[42]周蜀林.偏微分方程[M].北京:北京大学出版社,2005.
[43]郇中丹,黄海洋.偏微分方程[M].北京:高等教育出版社, 2004.
[44]王明新.数学物理方程[M].北京:清华大学出版社,2005.
[45]M.L克拉西诺夫.积分方程[M].俄罗斯:莫西格出版社,1975.
[46]路见可.积分方程论[M].武汉:武汉大学出版社, 2008.
[47]李星.积分方程[M].北京:科学出版社, 2008.
[48]沈以浩.积分方程[M].北京:北京理工大学出版社, 2002.
[49]郭大钧.非线形积分方程[M].山东科学技术出版社,1987.
[50]黄振友,杨建新,华踏红,刘景麟.泛函分析[M]科学出版社,2003.
[51]肖开提·卡得尔,阿瓦古丽·艾买提.关于三阶变系数偏微分方程的边值问题[J].新疆师范大学学报(自然科学版),2007,(1).
[52]肖开提·卡得尔.论三阶混合型抛物线双曲型方程的非局部问题,新疆师范大学学报(自然科学版),1996,(2).
[53]肖开提·卡得尔.多重特征偏微分方程概括解的能量估计[J].新疆师范大学学报(自然科学版),2008,(1).
[54]肖开提·卡得尔.在移动边界上热传导方程的非古典边值问题[J].新疆师范大学学报(自然科学版),2004,(2).
[55]伊里夏提·吾马尔,帕孜来提·司依提.关于混合型抛物型方程的非局部初边值问题[J].新疆师范大学学报(自然科学版),1998,(2).
[56]肖开提·卡得尔,关于n维多重特征发展微分方程的边界问题[J].新疆师范大学学报(自然科学版),2006,(1).
[57]肖开提·卡得尔,伊里夏提·吾买尔.一类六阶发展微分方程第一初边界问题的先验估计[J].新疆师范大学学报(自然科学版),2005,(4).
[2]刘亚成,刘洋.半线性双曲方程和抛物方程解整体存在和不存在的两个门槛结果[J].黑龙江大学自然科学学报,2008,25(6):875～878.
[3]倪星棠.关于一类三阶混合型方程和变系数双曲型方程的边值问题[J].数学杂志,1995,15(3):273～278.
[4]倪星棠.一类三阶抛物双曲混合型偏微分方程的边值问题[J].数学学报,1994,37(5):632～638.
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[9]闻国椿,张福元.二阶拟线性混合型方程的间断斜微商问题[J].数学进展,2000,29(6):554～562.
[10]马忠泰,许广山,闻国椿.拟线性混合方程的不连续边值问题[J].数学物理学报,2007,27A(4):720～726.
[11]闻国椿.带抛物退化线的混合(椭圆-双曲)型方程[J].宁夏大学学报,2003,24(3):196～198.
[12]闻国椿.二阶拟线性退化混合型方程的斜微商问题[J].北京大学学报,2006,42(3):285～293.
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[22]Т.д.джураев,м.х.акбарова,неокалъныезадачидлясмешанно-параболическогоУРАВНЕНИЯ[J].УЗМЖ.1993.2.C16—25.
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[24]Тαхиров.ж.О.ЗаЙαчαСосвобонойГрαницейляполулинейныхпαрбо-лескихурαвнений//Труды[J].ИТМ.АШГ1995.C73—78.
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[26]БердышевА.С.,РахматуллаеваН.А.Нелокальнаязадачасотходомотхарактерис-тикидляпараболо-гиперболическогоуравнениястремялиниямиизменениятипа[J].АктуальныеПроблемыПрикладнойМатематикииИнформационныхТехнологий-АльХорезми,2009,(1) : 58～60.
[27]РузиевШ.Н.Энергетическиеоценкиобобщенногорешенияэллиптико-параболическогоуравнениявторогопорядкавнеограниченнойобласти[J].АктуальныеПроблемыПрикладнойМатематикииИнформационныхТехнологий-АльХорезми,2009,(1) : 91～93.
[28]СалахитдиновМ.С.,МамадалиевН.К.ОновомподходекрешениюзадачиТрикомидляуравненияэллиптико-гиперболическоготипа[J].АктуальныеПроблемыПрикладнойМатематикииИнформационныхТехнологий-АльХорезми,2009,(1) : 105～108.
[29]АбуталиевФ.Б.,УсмановР.Н.Интеграцияпринциповтеориинечеткихмножестввразвитииметодологиимоделированиягидрогеологическихпроцессов[J].АктуальныеПроблемыПрикладнойМатематикииИнформационныхТехнологий-АльХорезми,2009,(1) : 179～180.
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[36]КамынинЛ.И.关于变系数抛物型方程的热位势方程[J].新西比利亚数学杂志.1983,(5):1071-1105.
[37]ЙилинаА.М.,КалашниковA.C.,АлыйникO.A.二阶线性抛物型方程[J].成果,数学,科学.1992.ТомXVⅡ.BbⅢ.3.c.3-141.
[38]肖开提·卡得尔.三阶混合型双曲抛物型方程的非局部问题[J].新疆:新疆师范大学学报,1996. 7～10.
[39]肖开提·卡得尔,肖合热提·伊不拉音,伊力夏提·吾买尔.一类混合型拟线性双曲抛物型方程的非线性边界问题[J].新疆师范大学学报,2002,21(2):4～7.
[40]T.Д.ДАНУРАЕВ,М.Х.АКБАРОВА.乌兹别克数学学报,1993. 16～25.
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[42]周蜀林.偏微分方程[M].北京:北京大学出版社,2005.
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[44]王明新.数学物理方程[M].北京:清华大学出版社,2005.
[45]M.L克拉西诺夫.积分方程[M].俄罗斯:莫西格出版社,1975.
[46]路见可.积分方程论[M].武汉:武汉大学出版社, 2008.
[47]李星.积分方程[M].北京:科学出版社, 2008.
[48]沈以浩.积分方程[M].北京:北京理工大学出版社, 2002.
[49]郭大钧.非线形积分方程[M].山东科学技术出版社,1987.
[50]黄振友,杨建新,华踏红,刘景麟.泛函分析[M]科学出版社,2003.
[51]肖开提·卡得尔,阿瓦古丽·艾买提.关于三阶变系数偏微分方程的边值问题[J].新疆师范大学学报(自然科学版),2007,(1).
[52]肖开提·卡得尔.论三阶混合型抛物线双曲型方程的非局部问题,新疆师范大学学报(自然科学版),1996,(2).
[53]肖开提·卡得尔.多重特征偏微分方程概括解的能量估计[J].新疆师范大学学报(自然科学版),2008,(1).
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[55]伊里夏提·吾马尔,帕孜来提·司依提.关于混合型抛物型方程的非局部初边值问题[J].新疆师范大学学报(自然科学版),1998,(2).
[56]肖开提·卡得尔,关于n维多重特征发展微分方程的边界问题[J].新疆师范大学学报(自然科学版),2006,(1).
[57]肖开提·卡得尔,伊里夏提·吾买尔.一类六阶发展微分方程第一初边界问题的先验估计[J].新疆师范大学学报(自然科学版),2005,(4).
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