数字图像置乱算法的研究
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摘要
主要研究了数字图像置乱算法及其应用，包括数字图像置乱矩阵的构造方法、置乱矩阵的周期性、置乱矩阵在图像置乱中的应用三个方面。主要成果如下：
（1）基于Euclid算法提出了两种构造二维广义Arnold矩阵：一种基于广义Fibonacci序列，一种基于Dirichlet序列。特点是：可以选择周期较大的二维广义Arnold矩阵，用户自行输入加密密钥，做到了一次一密，解决了一般二维广义Arnold矩阵的形式只有四种选择困境，从而大大增加了图像加密系统的安全性。
（2）提出了构造任意n维广义Arnold型矩阵的三种方法：基于等差数列的n维广义Arnold矩阵构造方法、基于混沌整数序列的n维广义Arnold矩阵的构造方法和基于Chebyshev混沌神经网络的n维广义Arnold矩阵构造方法。特点是：每种方法都只与密钥有关，算法简单且可公开；密钥空间大，每种算法可“一次一密”生成安全性很高的加密矩阵，且加密结果具有良好的混沌特性和自相关性，明文的自然频率得以隐蔽和均匀化，有利于抵抗统计分析法的攻击，能满足密码学的要求。由密钥生成的变换矩阵和逆变换矩阵的算法中不涉及复杂矩阵运算，时间复杂度低，不会因为变换矩阵维数较高而超出了计算能力；使用此类变换矩阵对图像进行置乱，通过逆变换对置乱图像进行恢复。
（3）阐述了二维Arnold映射的周期性与Fibonacci模数列的周期性的内在联系，证明了二维Arnold变换的模周期等于Fibonacci数列的模周期的一半，得到了猫映射的最小模周期的上界为3N，大大推进了现有的结论（N~2/2）。
（4）首次提出了孪生Fibonacci数列对的定义，给出了其性质和定理，并证明了孪生Fibonacci数列对modp r的最小正周期定理；阐明了三维Arnold映射的周期性与孪生Fibonacci数列对的周期性的内在联系，得到了3维Arnold变换的最小正周期上界为3.14N~2，大大推进了现有的结论（N~3）。
（5）证明了任意n维广义Arnold矩阵（modp r）的最小正周期定理，即对任意素数p和r∈Z~+，N=pr，若T=π_p(A(mod p))，则π_N(A(mod N)) p~(r-1)T。给出了n维Arnold矩阵的模周期上界为N~n/2。这些定理解决了长期困扰大家的变换矩阵模周期性计算问题，从而为图像置乱提供了更坚实的理论基础。
（6）结合本文所定义的最佳置乱程度，首次提出了Arnold变换的最佳置乱周期的定义，给出了使用Arnold变换时的变换最佳置乱次数。实验表明，最佳置乱次数与实际的置乱情况能一致吻合。
（7）提出了基于n维广义Arnold型变换矩阵的多轮双置乱的一次一密的加密算法：采取图像位置空间与色彩空间的多轮乘积型双置乱。特点是：具有周期长，算法完全公开，可有效防止多种攻击。实验结果表明该置乱变换算法效率高，安全性强。
The digital image scrambling algorithm and its applications are discussed in thispaper, it include the methods of constructing the image scrambling matrix, scramblingmatrix periodicity, and application of scrambling matrix in image scrambling. The maincontributions are as follows.
(1) Based on Euclid algorithm, two methods of constructing two-dimensionalgeneralized Arnold matrix were proposed. One is based on the Fibonacci series and theother is based on the Dirichlet series. Its advantage is that the users can choose a largertwo-dimensional generalized period matrix Arnold and enter encryption key bythemselves, One-time Pad Cipher is realized, which resolve the problem of only foursituation about the generalized two-dimensional Arnold matrix and greatly increase theimage encryption system security.
（2）Three methods for construction n-dimensional generalized Arnold matrix areproposed. The first is constructing n-dimensional generalized Arnold Based on sequencematrices, the second is on chaotic sequence and three is on Chebyshev Chaotic NeuralNetworks. Its advantages are include that each method only determining by theencryption key is simple and can be made public. Each algorithm has larger key spaceand can produce “One-time Pad Cipher” encryption matrix with very high security. Theencryption results have good chaos and autocorrelation with the natural frequency of theplaintext being hidden and homogenized, which is favorable for resisting statisticalanalysis attacks. Transformation matrix and inverse transform matrix produced by keydo not involve complicated matrix operations in the algorithm, whose time complexityis lower, so high-dimensional transformation matrix will not beyond computing power.The image is scrambled by transformation matrix and restored by the inversetransformation matrix.
(3) The inherent relationship between the two-dimensional Arnold map periodicand Fibonacci module series periodic is described, that the smallest period of theFibonacci module sequence is twice of that of two-dimensional Arnold transformationis also proved, The upper bound for the smallest module period of Arnoldtransformation is obtained, which is3N, which greatly promote the existing conclusions（N~2/2）.
(4) The twin Fibonacci sequence is first proposed, and its properties and theoremsare given. The theorem of the least period of the twin Fibonacci sequence mod p~r is proved by means of the mathematical induction. The paper describes the inherentrelationship between the periodic of3-dimensional Arnold map and that of the twinFibonacci sequence, the upper bound for the smallest module period of the3-dimensional Arnold transformation is obtained, which is3.14N~2. It is a great advancecompared with the existing best upper bound N~3in the literatures.
(5) The theorem of the least period of n-dimensional invertible generalized Arnoldmatrix mod p~r is proved by means of the mathematical induction, i.e., for any primenumber p, positive integer r，and n-dimensional invertible matrix A on the Galois fieldFP, if the least positive period of A(mod p) is T, then the least positive period of A(modp~r) is p~(r-1)T. The upper bound for the smallest module period of the n-dimensionalArnold transformation is obtained, which is N~n/2. These conclusions resolve theperennial problem for us to find the model period of the transformation matrix, whichprovide a much solider theoretical foundation for image scrambling.
(6) The definition for the best scrambling period of Arnold transformation is firstproposed, the number of the best scrambling transformation using Arnoldtransformation is given.
（7）The several rounds encryption algorithm based on n-dimensional generalizedArnold transformation matrix with One-time Pad Cipher is proposed, which isscrambling both in image position space and color space. Its features are included longperiod, the algorithm completely open, the effectively prevention to many attacks.Experimental results show that the scrambling transformation method is efficient andhas strong security.
（1）基于Euclid算法提出了两种构造二维广义Arnold矩阵：一种基于广义Fibonacci序列，一种基于Dirichlet序列。特点是：可以选择周期较大的二维广义Arnold矩阵，用户自行输入加密密钥，做到了一次一密，解决了一般二维广义Arnold矩阵的形式只有四种选择困境，从而大大增加了图像加密系统的安全性。
（2）提出了构造任意n维广义Arnold型矩阵的三种方法：基于等差数列的n维广义Arnold矩阵构造方法、基于混沌整数序列的n维广义Arnold矩阵的构造方法和基于Chebyshev混沌神经网络的n维广义Arnold矩阵构造方法。特点是：每种方法都只与密钥有关，算法简单且可公开；密钥空间大，每种算法可“一次一密”生成安全性很高的加密矩阵，且加密结果具有良好的混沌特性和自相关性，明文的自然频率得以隐蔽和均匀化，有利于抵抗统计分析法的攻击，能满足密码学的要求。由密钥生成的变换矩阵和逆变换矩阵的算法中不涉及复杂矩阵运算，时间复杂度低，不会因为变换矩阵维数较高而超出了计算能力；使用此类变换矩阵对图像进行置乱，通过逆变换对置乱图像进行恢复。
（3）阐述了二维Arnold映射的周期性与Fibonacci模数列的周期性的内在联系，证明了二维Arnold变换的模周期等于Fibonacci数列的模周期的一半，得到了猫映射的最小模周期的上界为3N，大大推进了现有的结论（N~2/2）。
（4）首次提出了孪生Fibonacci数列对的定义，给出了其性质和定理，并证明了孪生Fibonacci数列对modp r的最小正周期定理；阐明了三维Arnold映射的周期性与孪生Fibonacci数列对的周期性的内在联系，得到了3维Arnold变换的最小正周期上界为3.14N~2，大大推进了现有的结论（N~3）。
（5）证明了任意n维广义Arnold矩阵（modp r）的最小正周期定理，即对任意素数p和r∈Z~+，N=pr，若T=π_p(A(mod p))，则π_N(A(mod N)) p~(r-1)T。给出了n维Arnold矩阵的模周期上界为N~n/2。这些定理解决了长期困扰大家的变换矩阵模周期性计算问题，从而为图像置乱提供了更坚实的理论基础。
（6）结合本文所定义的最佳置乱程度，首次提出了Arnold变换的最佳置乱周期的定义，给出了使用Arnold变换时的变换最佳置乱次数。实验表明，最佳置乱次数与实际的置乱情况能一致吻合。
（7）提出了基于n维广义Arnold型变换矩阵的多轮双置乱的一次一密的加密算法：采取图像位置空间与色彩空间的多轮乘积型双置乱。特点是：具有周期长，算法完全公开，可有效防止多种攻击。实验结果表明该置乱变换算法效率高，安全性强。
The digital image scrambling algorithm and its applications are discussed in thispaper, it include the methods of constructing the image scrambling matrix, scramblingmatrix periodicity, and application of scrambling matrix in image scrambling. The maincontributions are as follows.
(1) Based on Euclid algorithm, two methods of constructing two-dimensionalgeneralized Arnold matrix were proposed. One is based on the Fibonacci series and theother is based on the Dirichlet series. Its advantage is that the users can choose a largertwo-dimensional generalized period matrix Arnold and enter encryption key bythemselves, One-time Pad Cipher is realized, which resolve the problem of only foursituation about the generalized two-dimensional Arnold matrix and greatly increase theimage encryption system security.
（2）Three methods for construction n-dimensional generalized Arnold matrix areproposed. The first is constructing n-dimensional generalized Arnold Based on sequencematrices, the second is on chaotic sequence and three is on Chebyshev Chaotic NeuralNetworks. Its advantages are include that each method only determining by theencryption key is simple and can be made public. Each algorithm has larger key spaceand can produce “One-time Pad Cipher” encryption matrix with very high security. Theencryption results have good chaos and autocorrelation with the natural frequency of theplaintext being hidden and homogenized, which is favorable for resisting statisticalanalysis attacks. Transformation matrix and inverse transform matrix produced by keydo not involve complicated matrix operations in the algorithm, whose time complexityis lower, so high-dimensional transformation matrix will not beyond computing power.The image is scrambled by transformation matrix and restored by the inversetransformation matrix.
(3) The inherent relationship between the two-dimensional Arnold map periodicand Fibonacci module series periodic is described, that the smallest period of theFibonacci module sequence is twice of that of two-dimensional Arnold transformationis also proved, The upper bound for the smallest module period of Arnoldtransformation is obtained, which is3N, which greatly promote the existing conclusions（N~2/2）.
(4) The twin Fibonacci sequence is first proposed, and its properties and theoremsare given. The theorem of the least period of the twin Fibonacci sequence mod p~r is proved by means of the mathematical induction. The paper describes the inherentrelationship between the periodic of3-dimensional Arnold map and that of the twinFibonacci sequence, the upper bound for the smallest module period of the3-dimensional Arnold transformation is obtained, which is3.14N~2. It is a great advancecompared with the existing best upper bound N~3in the literatures.
(5) The theorem of the least period of n-dimensional invertible generalized Arnoldmatrix mod p~r is proved by means of the mathematical induction, i.e., for any primenumber p, positive integer r，and n-dimensional invertible matrix A on the Galois fieldFP, if the least positive period of A(mod p) is T, then the least positive period of A(modp~r) is p~(r-1)T. The upper bound for the smallest module period of the n-dimensionalArnold transformation is obtained, which is N~n/2. These conclusions resolve theperennial problem for us to find the model period of the transformation matrix, whichprovide a much solider theoretical foundation for image scrambling.
(6) The definition for the best scrambling period of Arnold transformation is firstproposed, the number of the best scrambling transformation using Arnoldtransformation is given.
（7）The several rounds encryption algorithm based on n-dimensional generalizedArnold transformation matrix with One-time Pad Cipher is proposed, which isscrambling both in image position space and color space. Its features are included longperiod, the algorithm completely open, the effectively prevention to many attacks.Experimental results show that the scrambling transformation method is efficient andhas strong security.
引文
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