基于风险测度理论的证券投资组合优化研究
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摘要
首先，本文分别讨论了一致风险测度理论、谱风险测度理论、失真风险测度理论和随机占优一致风险测度理论等风险度量评价理论，在这些理论框架内讨论和比较了标准差、平均绝对离差、下偏位矩、基尼均差、VaR以及CVaR等风险度量。结果显示，CVaR在理论性质上优于其他风险度量，表现在：1)CVaR满足子可加性，属于一致风险度量；2)CVaR是二阶随机占优一致风险度量；3)CVaR既属于谱风险度量又属于失真风险度量，虽然性质不够完美，但依然优于其他风险度量指标。
其次，本文讨论了投资组合优化模型，认为一个“好”的投资组合优化模型既应理论性质完美，又应易于求解、扩展与实施。通常，风险度量的性质决定了模型的性质，因此应优先考虑基于CVaR的投资组合优化模型(以下简称CVaR模型)，理由如下：1)CVaR承认分散化效应；2)CVaR模型给出的最优解是二阶随机占优有效的；3)CVaR模型通常是凸的，可有效避免多重极值问题；4)在有限情景下，CVaR模型可归结为线性规划问题，因而易于求解与扩展，适合于求解大规模投资组合优化问题；5)CVaR为下行风险度量，适合于求解包含期权等衍生品的投资组合优化问题。
再次，本文详细讨论了CVaR以及CVaR模型，构建了基于短期CVaR约束的长期CVaR模型，并利用由滤波历史模拟法产生的收益率情景对模型做了实证模拟。对于基金公司等机构投资者而言，基于短期CVaR约束的长期CVaR模型具有一定的实用价值。通过该模型，基金公司可在控制组合短期风险的条件下使得长期均值-CVaR关系达最优，从而在不改变长期投资目标的情况下降低因市场下滑带来的赎回风险等短期风险。然而，短期风险约束的引入使得组合的长期预期收益水平与无约束时相比有所下降，降幅可视作投资者为控制组合短期风险而付出的代价。
最后，本文比较了CVaR模型与均值-方差(MV)模型，推导了证券收益服从椭圆分布时的均值-CVaR有效边界。在椭圆分布假定下，在合适的置信水平和预期收益水平下，CVaR模型将给出与MV模型相同的最优投资组合。通过蒙特卡洛模拟法和历史模拟法对两种模型做实证模拟，结果表明，椭圆分布假定下，两种模型给出的有效边界存在较小的差别，原因是CVaR模型的离散化和线性化操作带来一定程度的误差。当证券收益不服从椭圆分布时，CVaR模型与MV模型给出的最优解存在较为明显的差别。
First, we discuss several theories of risk measures respectively such as theories ofcoherent measures of risk, spectral measures of risk and distortion measures of risk.Within the framework of these theories, we discuss and compare standard deviation,mean absolute deviation, lower partial moment, Gini's difference, VaR, CVaR and soon. We conclude that CVaR is superior to other measures with respect to theoreticalproperties. Definitely, 1) CVaR satisfies the property of sub-additivity, hence acoherent risk measure. 2) CVaR is a risk measure consistent with second orderstochastic dominance (SSD). 3) CVaR is a spectral risk measure as well as distortionrisk measure, thus outperforming other measures despite its imperfect properties asthe case stands.
Second, portfolio optimization models are discussed. We conclude that a goodmodel should have perfect theoretical properties, should be easily solved, extendedand implemented. Usually, the properties of risk measures determine the properties ofmodels. Therefore we should consider in the first place the portfolio optimizationmodel based on CVaR measure (CVaR model for short hereinafter). The reason is asfollows. 1) CVaR measure admits diversification effect. 2) The optimal portfolio bysolving CVaR model is also SSD efficient. 3) Usually, CVaR model is convex, thuseffectively avoiding the problem of multiple local extrema. 4) Under finite scenarios,CVaR model reduces to the problem of linear programming and hence being easilysolved and implemented. Also the model is suitable for solving the problem ofmassive portfolio optimization. 5) Since CVaR is a downside risk measure, CVaRmodel is suitable to the optimization of portfolio that contains derivatives such asoptions.
Third, CVaR and CVaR model are discussed in more detail. We construct along-term CVaR model with short-term CVaR constraints. We make an empiricalsimulation of the model using scenarios generated by filtered historical simulationapproach and bootstrap approach. The model we construct has practical value to theinstitutional investors such as Fund Management Corporation. Through this model,fund managers can achieve long-term optimal tradeoff of portfolio's mean and CVaRwhile controlling the short-term risk. Consequently, the manager can reduce theshort-term risk such as redemption risk due to the market decline while not alteringthe long-term investment target. The introduction of short-term risk constraints,however, brings down the portfolio's expected long-term return compared to non-constraints. The decrease can be regarded as the cost for investor's controllingportfolio's short-term risk.
Finally, we compare CVaR model and Mean-Variance model (MV model). Theformula of Mean-CVaR efficient frontier is developed under the assumption ofelliptical distribution. In this case, CVaR model gives the same optimal portfolio asthe MV model at the appropriate confidence level and expected return level. We thencompare the two models using Monte Carlo simulation method and historicalsimulation. We conclude that, under the assumption of elliptical distribution, thefrontiers produced by two models have minor difference. Yet the difference exists dueto the errors produced by procedure of discretization and linearization of CVaR model.When returns of securities are not elliptically distributed, there exist obviousdistinctions between the optimal portfolios produced by CVaR model and by MVmodel.
其次，本文讨论了投资组合优化模型，认为一个“好”的投资组合优化模型既应理论性质完美，又应易于求解、扩展与实施。通常，风险度量的性质决定了模型的性质，因此应优先考虑基于CVaR的投资组合优化模型(以下简称CVaR模型)，理由如下：1)CVaR承认分散化效应；2)CVaR模型给出的最优解是二阶随机占优有效的；3)CVaR模型通常是凸的，可有效避免多重极值问题；4)在有限情景下，CVaR模型可归结为线性规划问题，因而易于求解与扩展，适合于求解大规模投资组合优化问题；5)CVaR为下行风险度量，适合于求解包含期权等衍生品的投资组合优化问题。
再次，本文详细讨论了CVaR以及CVaR模型，构建了基于短期CVaR约束的长期CVaR模型，并利用由滤波历史模拟法产生的收益率情景对模型做了实证模拟。对于基金公司等机构投资者而言，基于短期CVaR约束的长期CVaR模型具有一定的实用价值。通过该模型，基金公司可在控制组合短期风险的条件下使得长期均值-CVaR关系达最优，从而在不改变长期投资目标的情况下降低因市场下滑带来的赎回风险等短期风险。然而，短期风险约束的引入使得组合的长期预期收益水平与无约束时相比有所下降，降幅可视作投资者为控制组合短期风险而付出的代价。
最后，本文比较了CVaR模型与均值-方差(MV)模型，推导了证券收益服从椭圆分布时的均值-CVaR有效边界。在椭圆分布假定下，在合适的置信水平和预期收益水平下，CVaR模型将给出与MV模型相同的最优投资组合。通过蒙特卡洛模拟法和历史模拟法对两种模型做实证模拟，结果表明，椭圆分布假定下，两种模型给出的有效边界存在较小的差别，原因是CVaR模型的离散化和线性化操作带来一定程度的误差。当证券收益不服从椭圆分布时，CVaR模型与MV模型给出的最优解存在较为明显的差别。
First, we discuss several theories of risk measures respectively such as theories ofcoherent measures of risk, spectral measures of risk and distortion measures of risk.Within the framework of these theories, we discuss and compare standard deviation,mean absolute deviation, lower partial moment, Gini's difference, VaR, CVaR and soon. We conclude that CVaR is superior to other measures with respect to theoreticalproperties. Definitely, 1) CVaR satisfies the property of sub-additivity, hence acoherent risk measure. 2) CVaR is a risk measure consistent with second orderstochastic dominance (SSD). 3) CVaR is a spectral risk measure as well as distortionrisk measure, thus outperforming other measures despite its imperfect properties asthe case stands.
Second, portfolio optimization models are discussed. We conclude that a goodmodel should have perfect theoretical properties, should be easily solved, extendedand implemented. Usually, the properties of risk measures determine the properties ofmodels. Therefore we should consider in the first place the portfolio optimizationmodel based on CVaR measure (CVaR model for short hereinafter). The reason is asfollows. 1) CVaR measure admits diversification effect. 2) The optimal portfolio bysolving CVaR model is also SSD efficient. 3) Usually, CVaR model is convex, thuseffectively avoiding the problem of multiple local extrema. 4) Under finite scenarios,CVaR model reduces to the problem of linear programming and hence being easilysolved and implemented. Also the model is suitable for solving the problem ofmassive portfolio optimization. 5) Since CVaR is a downside risk measure, CVaRmodel is suitable to the optimization of portfolio that contains derivatives such asoptions.
Third, CVaR and CVaR model are discussed in more detail. We construct along-term CVaR model with short-term CVaR constraints. We make an empiricalsimulation of the model using scenarios generated by filtered historical simulationapproach and bootstrap approach. The model we construct has practical value to theinstitutional investors such as Fund Management Corporation. Through this model,fund managers can achieve long-term optimal tradeoff of portfolio's mean and CVaRwhile controlling the short-term risk. Consequently, the manager can reduce theshort-term risk such as redemption risk due to the market decline while not alteringthe long-term investment target. The introduction of short-term risk constraints,however, brings down the portfolio's expected long-term return compared to non-constraints. The decrease can be regarded as the cost for investor's controllingportfolio's short-term risk.
Finally, we compare CVaR model and Mean-Variance model (MV model). Theformula of Mean-CVaR efficient frontier is developed under the assumption ofelliptical distribution. In this case, CVaR model gives the same optimal portfolio asthe MV model at the appropriate confidence level and expected return level. We thencompare the two models using Monte Carlo simulation method and historicalsimulation. We conclude that, under the assumption of elliptical distribution, thefrontiers produced by two models have minor difference. Yet the difference exists dueto the errors produced by procedure of discretization and linearization of CVaR model.When returns of securities are not elliptically distributed, there exist obviousdistinctions between the optimal portfolios produced by CVaR model and by MVmodel.
引文
1 参见邵宇的《微观金融学及其数学基础》第一章。
2 实际上，利文斯(Leavens)(1945)研究债券组合风险时也用到了方差，并发现随着债券数量的增加，风险随之减小。
3 早期推动现代投资组合理论发展的学者则是托宾(1958)、夏普(1963，1964)以及林特纳(1965)等。
4 参见宋逢明的《金融工程原理》第三章。
5 马克维茨在其1987年的著作中提到，开创现代投资组合理论纪元的标志是罗伊(Roy)(1952)和马克维茨(1952)所发表的两篇论文。但多数文献和教科书在涉及这一问题时往往仅提及马克维茨(1952)的工作，却忽略了罗伊曾做出的贡献。
6 比如，当组合含有国外的股票、债券、金融衍生品、实物资产时，该组合的构成是复杂的。
7 马克维茨意识到：实际上，投资者仅将损失的一面视作风险。
8 下行风险度量往往与投资者对风险的一般认识相一致。比较理想的情况是，对于不同的下行风险水平，赋予的权重也不一样，即风险越高，权重越大，从而给予的惩罚越高，以充分反映投资者的风险厌恶特征。
9 基于VaR方法的风险管理体系日臻成熟。从VaR的计算、后验测试、误差分析、VaR边际分析到压力测试、极值分析等，都有相对成熟的讨论，详细内容可参见王春峰(2001)的著作。相比之下，CVaR估值和事后检验则比较麻烦，不易实施，因为CVaR大致可理解为超过VaR的那部分损失的平均值，定义上不仅依赖于VaR，而且计算时需要的数据量也远多于VaR计算。因此，本文认为，CVaR尽管在理论性质上似乎优于VaR，但要取代VaR方法尚待时日。不过，我们将会看到，在投资组合优化情形，CVaR则具有VaR无可比拟的优势。
10 稳定帕累托分布亦被称为分形分布，其特征是方差无定义或者是无限的。
11 马克维茨(1959)详细地讨论了效用函数的二次逼近问题。
12 普拉特(1964)和阿罗(1965)认为二次效用函数假设是荒谬的。列维和马克维茨(1979)将二次逼近分为三种类型，认为普拉特(1964)和阿罗的反对意见仅适用其中的一个情形。
13 均值-方差模型可归结为二次规划求解问题，规模越大，求解难度越高。不过，在计算机技术飞速发展的今天，这一问题已没有那么严重了。
14 又如，金融机构在向各部门、各业务间配置风险资本时，也要求具有风险分散化效应。
15 有关子可加性、正齐次性以及其他一些术语的经济含义将在后续章节讨论。
16 高全胜(2004)、李选举和高全胜(2004)将coherent risk measure翻译成“相容风险测度”。朱书尚、李端、周迅宇和汪寿阳(2004)亦将coherent risk measure翻译成“相容性风险测度”。
17 本文认为，应该在特定场合下考察阿特兹纳的平移不变性公理，该公理更多是针对风险资本要求而提出的。
18 他们将stochastic dominance翻译为“随机控制”，本文使用“随机占优”这一译法。
19 从文献搜索结果看，从事组合优化模型研究的学者的专业大多归属于管理科学与工程、 经济数学、金融数学、金融工程等领域。
20 当然，长期投资者控制短期风险的方法还有很多，比如可以利用衍生品交易控制组合的短期风险，或许比本文给出的模型更有效。
1 亦称为冯·诺伊曼-摩根斯特恩效用函数，简记为v.N-M效用函数。
2 v.N-M效用函数存在性定理的推导过程在许多教科书中都可以找到，这里不在赘述，可参见黄(Huang)和李兹森伯格(Litzenberger)(1988)、英格索(1987)以及史树中(2004)的论著。
3 一般地，可以假定投资者的风险厌恶程度随着财富的增加而递减。
4 参见蔡(Tsay)(2002)的金融时间序列分析。
5 比如，考虑一笔价值为100元的投资，在第一个月其价值下跌到50元，在第二个月其价值又上涨到75元，则第一个月的收益率为-50％，第二个月的收益率为50％，那么这笔投资在两个月内的平均月收益率为多少?如果按照算术平均法计算，则平均月收益率为0。显然此时给出的算术平均收益并没有真实反应这笔投资的损益情况。如果按照几何平均法计算，则得到的几何平均月收益为-13.4％。
6 参见谢晓非和李育辉(2002)以及高全胜(2004)所做的研究。
7 例如，普通退休人员拿出养老金炒股，一旦蒙受较高损失，其所带来的风险是比较大的，而对富有的人来说，情况就有所不同的。
8 本文以随机变量X表示不确定结果，如无特别说明，X代表投资组合的名义回报，即每单位货币投资的利得或损失，通常用连续复利收益率代表，正值代表收益，负值代表损失。
9 参见滋维．博迪(Zvi Bodie)的投资学(第五版)。
10 基尼均差作为波动性的度量，由基尼(1912)提出。基尼均差与期望值的比值即为基尼指数，该指数用于度量收入的不平等性。伊扎崎(1982，1984)则以基尼均差为风险度量研究投资组合优化问题。
11 菲什伯恩(1977)将LPM称为α-t模型，这里α为阶数，t为目标收益率。
12 Value at Risk简记为VaR，而不是简记为VAR、Var或var，因为VAR代表向量自回归的意思，Var和var一般指方差。
13 与阿特兹纳等(1999)给出的定义不同，奥格里捷克和卢斯捷因斯基(2002)用收益分布的下p分位数作为VaR的定义。不过，本文将采用阿特兹纳等(1999)给出的VaR定义。实际上，当分布函数为连续型时，上p分位数等于下p分位数，此时VaR的定义是唯一的。不过，当组合含有期权等收益分布非连续的资产时，或者利用离散的历史收益情景计算VaR时，上p分位数与下p分位数会出现不等的情况。
14 子可加性的概念将在下一章予以介绍。简单地讲，VaR不具有子可加性，意味着以VaR为风险度量指标有可能导致组合出现违背分散化效应的情况，即分散化投资非但没有使组合的VaR值下降，反而增加了VaR值。
15 国内对expected shortfall的翻译可谓五花八门，笔者搜集到的翻译有：预期不足、预期损失、条件期望损失、样本外预期损失、极端风险值等。本文采用条件期望损失这一译法。
16 洛克菲勒和尤尔约瑟夫(2000，2002)给出了基于损失变量的CVaR定义，本文将在后续章节中做详细讨论。
17 在有关的中文文献中，Drawdown还未找到合适的翻译，该词原义是指水位的降低、水位的降低量、降深。根据DrawDown指标的定义及含义，本文认为把DrawDown翻译成‘降深’比较合适。此外，才可洛夫等(2005)将单样本路径下的CDaR称为Conditional DrawDown。
18 这里，我们依然假设(1-α)·N是整数。
1 协单调概念是由Schmeidler(1986)和Yaari(1987)给出的，用于研究两个随机变量X与Y之间的强正相关关系。对于样本空间Ω，如果不存在ω_1，ω_2∈Ω，使得X(ω_1)＜X(ω_2)且Y(ω_1)＞Y(ω_2)，则称X与Y是协单调的。
2 综观现有的文献，对一致风险测度理论做深入批判的文章较少，也侧面说明该理论在一定范围内具有一定的合理性。
3 若L定义在概率空间(Ω，F，P)上，则不等式X(ω)≥0应理解为在概率意义下几乎必然成立，对于小于等于以及严格小于的情况，做同样的理解。
4 阿特兹纳等(1999)分别从监管者、清算公司以及投资管理人的角度讨论了可接受风险集在现实中的意义。在投资情形，不妨将可接受集与可接受的投资对应起来。
5 若对任意X∈Γ和任意λ≥0，都有λX∈Γ，则称Γ为以原点为顶点的锥。如果Γ为凸的，则称它为凸锥。
6 此时，标准基尼均差为扩展基尼均差的特殊情形。
7 参见Goovaerts，Kaas和Dhaene(2002)、Danielsson，Jorgensen，Sarma和de Vries(2005)、Dhaene，Laeven，Vanduffel，Darkiewicz和Goovaerts(2005)等所做的研究。
8 从监管的角度看，银行提取的准备金越多，风险越小。
9 兰德斯曼(Landsman)和瓦尔德斯(Valdez)(2003)给出的椭圆分布与本文采用的定义形式上存在微小差别，参见附录3．1。
10 实践中，椭圆分布的边际分布是椭圆分布这一结论给风险建模带来不小的难题，因为尽管组合的分布是椭圆型的，但组合中各资产的概率分布可以不是椭圆分布。
11 这里，随机变量Z可看作是服从椭圆分布的资产向量X=(X_1，X_2…，X_n)~T的一个组合，即Z=∑w_iX_i，这里w_i为投资权重，且∑w_i=1。
12 实际上，对于正态分布以外的其他椭圆分布，q_α的计算公式往往比较复杂。
13 福鲁格(2002)基于济克菲勒和尤尔约瑟夫(2000，2002)所定义的CVaR，给出了连续分布情形下CVaR子可加性的证明。
14 本文采用达纳(Dhaene)等人(2003)给出的失真风险测度的定义，该定义与王(1996)给出的定义形式上稍有不同，但本质上是一样的。之所以存在形式上的差别是因为王(1996)假定代表损失的随机变量是非负的随机变量，而本文假定损失变量可以取负值，此时取负值的损失变量实际上代表的是收益。
15 在罗斯柴尔德和斯蒂格利茨(1970，1971)给出的二阶随机占优定义中，还要求X_1的期望值等于X_2的期望值。另见黄和李兹森伯格(1988)。
16 另见夏洛克斯(Shorrocks)(1983)以及沙利特(Shalit)和伊扎崎(Yitzhaki)(1994)。
17 需要注意的是，奥格里捷克和卢斯捷因斯基(2002)给出的CVaR定义与本文采用的定义不同，差别在于前者给出的定义在式(3-25)等号右边没有负号。虽然存在差别，但不影响问题的实质。
18 在英文里，coherent与consistent均有“一致”的意思，但后者特指与随机占优相一致。
1 可以看到，依据罗伊准则给出最优组合的前提是确定投资组合的均值-方差有效边界。后文将讨论均值-方差有效边界
2 在经典的马克维茨均值-方差模型里，一般将限制卖空(w≥0)情形的均值-方差模型做为标准形式，而将无卖空限制的模型称为布莱克模型，如果在模型(4-28)中引入无风险资产，则所得到的模型被称为托宾-夏普-林特纳模型。详细讨论参见马克维茨(1987)的著作。
3 显然，这里介绍的最优组合选择过程与罗伊准则、片冈准则等存在明显的区别。罗伊准则和片冈准则不需要设定效用函数形式，就这一点而言是简单实用的。
4 两基金分离定理指的是，在风险资产组合的有效边界上任选两个分离的点所代表的有效组合，则有效边界上其他点所代表的有效组合均可表示为这两个组合的线性组合。在图4．4中，f和M点即构成了两基金，f代表无风险资产，M代表某一充分分散化的组合。
5 但在特殊情况下，均值-方差模型有其合理性。比方说，资产的收益率服从正态分布 N(μ，σ~2)，此时三阶及三阶以上的中心矩中，奇数阶矩全为0，偶数阶矩可写成均值、方差的函数，此时的均值-方差模型是合理的。但正态分布假定与金融市场数据所表现出的尖峰厚尾特征不符。
6 马克维茨(1959)就曾采用二次效用函数来逼近投资者的真实效用函数。
7 对二次效用函数的评价可参见夸克和沙波斯尼科(1962)、鲍莫尔(1963)、普拉特(1964)、林特纳(1965)、博尔奇(1969)以及哈达尔和拉塞尔(1969)等学者所做的研究。
8 本文讨论的风险在不同场合的含义有所区别。例如，在讨论双边风险度量时实际上隐含地把风险定义为偏离均值或者某一目标值的程度及可能性，而不管这种偏离是有利的还是不利的。
9 因为MAD是半离差的两倍，故MAD模型也可以半离差为风险度量，最优化结果是一样的。
10 基尼均差的数学表达形式有很多，这里采用协方差形式。
1 本文给出的VaR和CVaR的定义是基于洛克菲勒和尤尔约瑟夫(2002)的研究。艾克比和塔斯克(2002)也有类似的研究，只不过他们是给随机收益变量定义VaR和CVaR，而洛克菲勒和尤尔约瑟夫给出的是随机损失变量的VaR和CVaR。此外，在艾克比和塔斯克(2002)发表的论文中，将CVaR称为expected shortfall，并且指出expected shortfall与洛克菲勒和尤尔约瑟夫(2002)定义的CVaR是等价的。奥格里捷克等(2002，2006)给出的也是随机收益变量的CVaR定义，形式上与本文采用的定义存在区别，但本质上是一样的。
2 奥格里捷克和卢斯捷因斯基(2002)定义的VaR即为上VaR。
3 毛瑟尔和罗森的mean shortfall与艾克比的expected shortfall虽然称谓上类似，但从数学角度讲，依然存在差别，expected shortfall与CVaR是等价的，也是一致风险测度。参见艾克比和塔斯克(2002)。
4 参见阿特兹纳等(1999)、福鲁格(2000)、艾克比和塔斯克(2002)以及洛克菲勒和尤尔约瑟夫(2000，2002)等学者所发表的论文。
5 若采用形如(5-13)的定义，则得到的结论是类似的，但证明的过程稍显复杂，相关讨论 可参见洛克菲勒和尤尔约瑟夫(2002)发表的论文。
6 该证明引自洛克菲勒和尤尔约瑟夫(2000)。基于式(5-13)的证明参见洛克菲勒和尤尔约瑟夫(2002)。
7 目前，在上海证券交易所买卖股票，主要涉及以下几种费用：印花税、佣金、过户费、委托费以及结算费。
8 也可利用金融衍生品对组合短期内的下行风险进行管理，比如可利用股指期货对组合做部分对冲，或者利用看跌期权对股票实施保护。
9 在本文，市场因子特指证券的历史价格或者历史收益率。但市场因子也可是其他一些指标。比如，当组合包含外汇期权、互换等衍生品时，市场因子包含利率、汇率和标的资产价格等。参见菲利普·乔瑞(2001)及王春峰(2001)等学者的著作。
10 关于历史模拟法的优劣评价，可参见菲利普·乔瑞(2001)、皮埃特罗·潘泽和维普·K·班塞尔(2001)以及王春峰(2001)等学者的著作。
11 例如平方取中法、移位指令加法、同余法等，详见徐钟济(1985)的著作《蒙特卡洛方法》，这里不再赘述。
12 这部分内容的详细讨论可参见菲利普·乔瑞(2001)、王春峰(2001)、蔡(2002)、皮埃特罗·潘泽和维普·K·班塞尔(2001)以及龚光鲁和钱敏平(2003)等学者的著作。
13 比如有Halton序列、Faure序列以及Sobol序列等。
14 比如当投资组合是由不同币种的债券、股票、期货、期权等组成时，为获取可靠的估计，所需样本规模是非常大的，此时传统的蒙特卡洛模拟法负担沉重，共至根本不能实施。
15 在确定相关系数矩阵尤其是大规模的相关系数矩阵时，会遇到许多问题，比如得到的矩阵可能不是正定的，会给模拟带来不小的麻烦。又如资产间的相关性可能是不稳定的。关于该话题的讨论详见巴罗尼-阿德斯、吉安诺普罗斯和维斯柏(1998)所发表的论文。
16 自助法(Bootstrap)抽样技术是一种近似方法，由埃弗龙(Efron)(1979)提出。该方法主要基于给定的抽样数据，通过随机的、有重复的再抽样，对统计量的分布情况做统计推断和仿真。自助法的优点在于取样范围广，可以涵盖厚尾、跳跃和任何与正态分布不相符的地方。此外，该方法也考虑金融资产间的相关性。自助法的不足在于当样本容量很小时，由该方法得出的分布与实际分布的近似程度较低。该方法的另一缺点在于它过分依赖收益率的独立性假设。
17 当然，可以选取更多的股票，比如500只。选取的股票越多，越能体现出CVaR投资组合优化模型相对于均值-方差模型的优势，尤其能体现出CVaR模型更便于实施这一优势。但是，本文仅选取10只股票，主要是对CVaR模型本身进行模拟分析。在下一章，本文将比较CVaR模型与均值方差模型，并做模拟分析。
18 本文未选取2005年和2006年的观测值，主要是由于2005年和2006年，各上市公司相继实施股权分置改革，存在时间不等的停牌现象，造成交易的中断，故未将这两年的交易情况纳入样本。
19 这里不再一一列出各股票的自相关函数图。
20 对模型的适用性检验方法还包括：标准化残差序列分布的拟合优度检验、ARCH效应检验等。
21 根据需要，可取更长的期限，比如5年，10年。短期则可取半年、一年等。本文并不就短期投资和长期投资的界定做展开讨论，本文选1年的时间段为长期，一个月为短期，目的仅是为了模拟本文所构建的模型。
22 也可选取其他阈值，不过，如果选取的阈值太低，则模型无可行解。
23 选取的置信水平不必相等。根据需要，短期CVaR和长期CVaR的计算可选取不同的置信水平。例如，长期CVaR约束可选取95％的置信水平，短期CVaR约束可选取99％的置信水平。
1 哈利·M·马克维茨在其1987年的著作中，假定协方差矩阵是半正定的，认为这样的假设更有价值。在理论和实际应用中，存在协方差矩阵奇异的情形，比如，实际工作人员采用较少的历史数据计算协方差矩阵时，就会出现奇异的情况。又如，证券组合中存在股票的看涨期权、看跌期权和该股票，此时协方差矩阵可能是奇异的。但为讨论方便起见，本文假定协方差矩阵是非奇异的。
2 参见洛克菲勒和尤尔约瑟夫(2000)所发表的论文。
3 为讨论方便起见，假设允许卖空。但在卖空被禁止或者受限的情况下，均值-方差有效边界依然是凸的，但没有封闭解。有关不允许买空条件下的均值-方差模型的讨论，可参见马克维茨1987年的著作。此外，国内学者唐小我等(2003)对多种情形下的均值-方差模型也有很深入的研究。
4 黄和李兹森伯格(1988)也对投资组合边界方程做了详细的推导和讨论。
5 相关研究参见亚历山大和巴普蒂斯塔(2002)。
6 多元t分布假定下，VaR的计算公式推导过程详见坎德姆(2004a)。
7 坎德姆(2004b)还给出了广义拉普拉斯分布(generalized Laplace distribution)假定下，VaR和CVaR的计算公式。此外，坎德姆(2004a，2004b)还推导了混合椭圆分布、时变椭圆分布假定下，VaR和CVaR的计算公式。
8 该论断的证明过程属于纯数学处理，过程从略。
9 本文中实施CVaR模型时所采用的离散化操作包含两个假定：1)未来情景是有限的；2)每种情景是等概率发生的。显然，这些假定与实际情况存在一定出入，从而导致正态分布条件下，CVaR模型给出的最优解与均值-方差模型不完全一致。
10 与均值-方差模型不同的是，CVaR模型可转化为线性规划模型。
1 参见坎贝尔等(2002)的《战略资产配置》(陈学彬等译，上海财经大学出版社，2004年版)和莫顿(1990)的《连续时间金融》(有中译本)。
2 随着状态空间的加大，随机动态规划问题越发难于求解。随机动态规划的求解受制于状态变量的维数，维数越高，求解难度越大，这一现象被称为维数的诅咒(curse of dimensionality)。
[1] 埃德加E彼得斯 著，王小东 译．资本市场的混沌与秩序[M]．北京：经济科学出版社，1999．
[2] 蔡瑞胸 著，潘家柱 译．金融时间序列分析[M]．北京：机械工业出版社，2006．
[3] 曹静，秦超英，覃森．均值-CVaR模型下的两基金分离定理[J]．系统工程学报，2006，4：202-205．
[4] 陈金龙，张维．CVaR与投资组合优化统一模型[J]．系统工程理论方法应用，2002，3：68-71．
[5] 陈守东，孔繁利，胡铮洋．基于极值分布理论的VaR与ES度量[J]．数量经济技术经济研究，2007，24(3)：118-124．
[6] 陈学彬，傅东升，葛成杰．我国居民个人生命周期消费投资行为动态优化模拟研究[J]．金融研究，2006，2：21-35．
[7] 戴维·M·达斯特著，李康等译．资产配置的艺术[J]．上海：上海人民出版社，2005．
[8] 高飞，赵振全．随机控制理论与风险度量[J]．数量经济技术经济研究，2002，6：72-75．
[9] 高全胜．金融市场风险计量与优化[J]．武汉工业学院学报，2004，9：80-83．
[10] 龚光鲁，钱敏平．应用随机过程教程及其在算法和智能计算中的应用[M]．北京：清华大学出版社，2003．
[11] 龚六堂．动态经济学方法[M]．北京：北京大学出版社，2002．
[12] 哈利M马克维兹 著，刘军霞，张一驰 译．资产选择—投资的有效分散化[M]．北京：首都经济贸易大学出版社，2000．
[13] 哈利M马克维茨 著，朱菁，欧阳向军 译．资产组合选择和资本市场的均值-方差分析[M]．上海：上海三联书店和上海人民出版社，1999．
[14] 哈姆·勒维，马歇尔·萨纳特著，陈云林等译．证券投资组合与选择[M]．广州：中山大学出版社，1997．
[15] 何光辉，杨咸月．现代金融风险测度方法的局限与突破[J]．上海金融，2004，5：30-32．
[16] 何琳洁，文风华和马超群．基于一致性风险价值的投资组合优化模型研究[J]．湖南大学学报(自然科学版)，2005，4：126-128．
[17] 何信，张世英和孟利锋．动态—致性风险度量[J]．系统工程理论方法应用，2003，12(3)：243-247．
[18] 贺思辉，王茂和李佼瑞．不完备Yaari对偶理论与风险序化技术[J]．西安 石油大学学报(自然科学版)，2005，1：83-86．
[19] 胡支军，黄登仕．一个非对称风险度量模型及组合证券投资分析[J]．中国管理科学，2005，4：8-14．
[20] 胡支军，彭飞，黄登仕．一个推广的半绝对离差证券组合投资模型[J]．系统工程，2004，3：57-61．
[21] 蒋殿春．现代金融理论[M]．上海：上海人民出版社，2001．
[22] 景明利，张峰，杨纯涛．金融风险度量VaR与CVaR方法的比较研究及应用[J]．统计与新息论坛，2006，9：84-87．
[23] 李萍，李楚霖．标准化风险度量与投资决策的双目标优化[J]．应用数学，2005，18(1)：167-173．
[24] 李婷，张卫国．风险资产组合均值CVaR模型的算法分析[J]．安徽大学学报(自然科学版)，2006，11：4-7．
[25] 李小平，刘小茂．风险资产组合的均值-M有效前沿及其实证分析[J]．中国管理科学，2005，10：6-11．
[26] 李选举，高全胜．交易费用和CVaR风险测度下的稳健投资组合[J]．数量经济技术经济研究，2004，8：85-90．
[27] 李仲飞，姚京．安全第一准则下的动态资产组合选择[J]．系统工程理论与实践，2004，1：41-45．
[28] 林辉，何建敏．VaR在投资组合应用中存在的缺陷与CVaR模型[J]．财贸经济，2003，12：46-49．
[29] 林志炳，徐保光．一致性风险度量的概念、形式、计算和应用[J]．统计与决策，2006，3：6-9．
[30] 刘彪，刘小茂．Monte-Carlo模拟在VaR与CVaR中的应用[J]．武汉科技学院学报，2006，11：58-61．
[31] 刘红忠，邵宇．金融市场学[M]．北京：高等教育出版社，2005．
[32] 刘红忠，蒋冠．金融市场学[M]．上海：上海财经大学出版社，2006．
[33] 刘俊山．基于风险测度理论的VaR和CVaR的比较研究[J]．数量经济技术经济研究，2007，24(3)：125-133．
[34] 刘小茂．资产组合的CVaR风险的敏感度分析[J]．数学物理学报，2004，24(A)：442-448．
[35] 刘小茂，杜红军．金融资产的VaR和CVaR风险的优良估计[J]．中国管理科学，2006，10：1-6．
[36] 刘小茂，李楚霖和王建华．风险资产组合的均值-CVaR有效前沿(Ⅰ)[J]．管理工程学报，2003，1：29-32．
[37] 刘小茂，李楚霖和王建华．风险资产组合的均值-CVaR有效前沿(Ⅱ)[J]．管理工程学报，2005，1：1-5．
[38] 刘小茂，罗樱．CVaR风险度量下的安全第一标准[J]．华中科技大学学报(自然科学版)，2005，4：115-117．
[39] 刘小茂，马林．资产相对价值的VaR和CVaR风险[J]．统计与决策，2006，8：128-129．
[40] 刘小茂，田立．VaR与CVaR的比较研究及实证分析[J]．华中科技大学学报，2005，10：112-114．
[41] 刘晓星．基于CVaR的投资组合优化模型研究[J]．商业研究，2006，14：15-18．
[42] 刘志东．Downside-Risk风险度量方法研究[J]．统计与决策，2006，6：25-28．
[43] 刘志东．不同均值-风险准则下的资产组合有效前沿比较研究[J]．经济数学，2006，3：26-35．
[44] 刘志新和牟旭涛．投资组合最大损失最小化模型研究[J]．系统工程理论与实践，2000，12：22-25．
[45] 罗樱，于欣．CVaR度量下基于安全第一的最优投资组合[J]．江南大学学报(自然科学版)，2006，10：624-626．
[46] 马克·洛尔，列夫·博罗多夫斯基 著．陈斌，等 译．金融风险管理手册[M]．北京：机械工业出版社，2002．
[47] 欧阳资生．极值估计在金融保险中的应用[M]．北京：中国经济出版社，2006．
[48] 荣喜民，张喜彬和张世英．组合证券投资模型研究[J]．系统工程学报，1998，13(1)：81-88．
[49] 荣喜民，张奎庭，等．有交易成本的证券投资研究[J]．系统工程学报，2003，6：198-202．
[50] 邵宇．微观金融学及其数学基础[M1．北京：清华大学出版社，2003．
[51] 沈春芳，张宛平．一个改进的Harlow下偏矩证券组合优化模型[J]．统计与决策，2006，2：16-18．
[52] 史道济．实用极值统计方法[M]．天津：天津科学技术出版社，2006．
[53] 史树中．金融经济学十讲[M]．上海：上海人民出版社，2004．
[54] 司继文，张明佳和龚朴．基于Monte Carlo模拟和混合整数规划的CVaR(VaR)投资组合优化[J]．武汉理工大学学报，2005，6：411-414．
[55] 唐爱国．广义随机占优理论[M]．北京：北京大学出版社，2005．
[56] 唐爱国，秦婉顺．广义随机占优单调一致风险测度和ES(n)[J]．金融研究，2003，4：84-93．
[57] 特伦斯C米尔斯 著，俞卓菁 译．金融时间序列的经济计量学模型[M]．北京：经济科学出版社，2002．
[58] 屠新曙，王春峰和巴蜀松．投资组合效用问题的研究[J]．数量经济技术经济研究，2002，5：37-40．
[59] 汪贵浦，王明涛．Harlow下偏矩证券组合优化模型的求解方法研究[J]．系统工程理论与实践，2003，6：42-47．
[60] 王春峰．金融市场风险管理[M]．天津：天津大学出版社，2001．
[61] 王明涛，王秋红．基于下偏矩的资源配置优化模型求解方法研究[J]．郑州工业大学学报，2001，12：38-42．
[62] 王秀国，邱菀华．基于CVaR和Monte Carlo方针的贷款组合决策模型[J]．计算机工程与应用，2007，43(4)：26-29．
[63] 卫海英，邓玮．Markowitz均值-方差理论的局限及其在我国的适用性[J]．南方金融，2004，10：30-32．
[64] 文风华等．一致性风险价值及其算法与实证研究[J]．系统工程理论与实践，2004，10：15-21．
[65] 文平．基于半范数的风险测度[J]．数学的实践与认识，2006，3：274-278．
[66] 肖贤春，胡支军．基于不同风险度量的投资组合模型实证研究[J]．贵州大学学报(自然科学版)，2006，8：250-253．
[67] 谢晓非，李育辉．风险情景中的机会和威胁认知[J]．心理学报，2002，34(3)：319-326．
[68] 徐钟济．蒙特卡洛方法[M]．上海：上海科学技术出版社，1985．
[69] 姚新颉．基于CVaR风险度量的证券组合投资决策模型研究[J]．安徽理工大学学报，2004，6：67-69．
[70] 尹优平，马丹．基于分布拟合方法的高频数据风险价值研究[J]．金融研究，2005，3：59-67．
[71] 约翰Y坎贝尔和路易斯M万斯勒 著，陈学彬等 译．战略资产配置[M]．上海：上海财经大学出版社，2004．
[72] 吴世农，陈斌．风险度量方法与金融资产配置模型的理论和实证研究[J]．经济研究，1999，9：30-38．
[73] 詹惠蓉，程乾生．拟蒙特卡罗法在亚洲期权定价中的应用[J]．数学的实践与认识，2005，9：20-27．
[74] 张金清．非理性条件下的风险偏好与投资选择研究[J]．管理评论， 2004，12：10-18．
[75] 张晓蓉，徐剑刚．VaR-ES与一致性风险度量[J]．上海管理科学，2006，4：78-80．
[76] 郑明川，吴晓梁．VaR约束下的投资组合管理[J]．技术经济与管理研究，2003，6：34-35．
[77] 朱书尚，李瑞，周迅宇和汪寿阳．论投资组合与金融优化[J]．管理科学学报，2004，12：1-12．
[78] 滋维·博迪，等著．朱宝宪，等译．投资学(第五版)[M]．北京：机械工业出版社，2002．
[79] Acerbi C. Expected Shortfall as a Tool for Financial Risk Management [EB/OL]. Abaxbank,2001.
[80] Acerbi C. Spectral Measures of Risk: a Coherent Representation of Subjective Risk Aversion [J]. Journal of Banking and Finance, 2002, 26:1505-1508.
[81] Acerbi C and Tasche D. On the Coherence of Expected Shortfall [J]. Journal of Banking and Finance, 2002, 26:1487-1503.
[82] Acerbi C and Simonetti P. Portfolio Optimization with Spectral Measures of Risk [EB/OL]. Abaxbank, 2002.
[83] Alexander G J and Baptista A M. Economic Implications of Using a Mean-VaR Model for Portfolio Selection: A Comparison with Mean-Variance Analysis [J]. Journal of Economic Dynamics and Control, 2002, 26: 1159-1193.
[84] Alexander G J and Baptista A M. A Comparison of VaR and CVaR Constraints on Portfolio Selection with the Mean-Variance Model [J]. Management Science, 2004, 9: 1261-1273.
[85] Andersen F, Mausser H, Rosen D and Uryasev S. Credit Risk Optimization with Conditional Value-at-Risk Criteria [J]. Mathematical Programming, 2000, Ser.B, 89:273-291.
[86] Artzner P, Delbaen F and Eber J M. and Heath D. Thinking Coherently [J]. Risk, 1997, 10:68-71.
[87] Artzner P, Delbaen F, Eber J M and Heath D. Coherent Measures of Risk [J]. Mathematical Finance, 1999, 9: 203-228.
[88] Artzner P. Application of Coherent Risk Measures to Capital Requirements in Insurance [J]. North American Actuarial Journal, 1999, 3(2): 11-25.
[89] Artzner P, Delbaen F, Eber J M, Heath D and Ku H. Coherent Multiperiod Risk Measurement [EB/OL]. University Louis Pasteur, 2002.
[90] Arzac E R, Bawa V S. Portfolio Choice and Equilibrium in Capital Markets with Safety-First Investors [J]. Journal of Financial Economics, 1977,4: 277-288
[91] Barone-Adesi G, Giannopoulos K and Vosper L. VaR without Correlations for Portfolios of Derivative Securities [J]. Journal of Futures Markets, 1999, 19: 583-602.
[92] Barone-Adesi G, Giannopoulos K and Vosper L. Backtesting Derivative Portfolios with Filtered Historical Simulation [J]. European Financial Management, 2002, 8: 31-58.
[93] Basak S and Shapiro A. Value-at-Risk Based Risk Management: Optimal Policies and Asset Prices [J]. Review of Financial Studies, 2001, 14(2): 371-405.
[94] Baumol W J. An Expected Gain-Confidence Limit Criterion for Portfolio Selection [J]. Management Science, 1964, 10: 174-182.
[95] Bawa V S. Optimal Rules for Ordering Uncertain prospects [J]. Journal of Financial Economics, 1975,10: 849-857.
[96] Bawa V S. Admissible Portfolio for All Individuals [J]. Journal of Finance, 1976, XXXI, No.4: 1169-1183.
[97] Bawa V S. Safety-First, Stochastic Dominance, and Optimal Portfolio Choice [J]. Journal of Financial and Quantitative Analysis, 1978, 6: 255-271.
[98] Beder T S. VaR: Seductive but Dangerous [J]. Financial Analyst Journal, 1995, 9-10:12-24
[99] Bertsimas D, Lauprete G J and Samarov A. Shortfall as a Risk Measure: Properties, Optimization and Applications [J]. Journal of Economic Dynamics& Control, 2004, 28:1353-1381.
[100] Bogentoft E, Romeijn H E and Uryasev S. Asset/Liability Management for Pension Funds Using CVaR Constraints [J]. Journal of Risk Finance, 2001, fall: 57-71.
[101] Boyle P, Broadie M and Glasserman P. Monte Carlo Methods for Security Pricing [J]. Journal of Economic Dynamics and Control, 1997, 21:1267-1321.
[102] Campbell J Y, Lo A W and MacKinlay A C. The Econometrics of Financial Markets [M]. New Jersey: Princeton University Press, 1997.
[103] Campbell R, Huisman R, Koedijk K G. Optimal Portfolio Selection in a Value-at-Risk Framework [J]. Journal of Banking and Finance, 2001, 9: 1789-1804.
[104] Cass D and Stiglitz J E. The Structure of Investor Preferences and Asset Returns, and Separability in Portfolio Allocation: A Contribution to the Pure Theory of Mutual Funds [J]. Journal of Economic Theory, 1970,2(2):122-160.
[105] Chekhlov A, Uryasev S, and M Zabarankin. Portfolio Optimization with Drawdown Constraints [A]. In: B Scherer eds. Asset and Liability Management Tools, Risk Books[M]. London, 2003:263-278.
[106] Chekhlov A, Uryasev S, and M Zabarankin. DrawDown Measure in Portfolio Optimization [J]. International Journal of Theoretical and Applied Finance, 2005,8(1): 13-58.
[107] Cherny A S and Madan D B. Pricing and Hedging in Incomplete Markets with Coherent Risk [EB/OL]. University of Maryland, 2006.
[108] Chiodi L, Mansini R and Speranza M G. Semi-Absolute Deviation Rule for Mutual Funds Portfolio Selection [J]. Annals of Operations Research, 2003, 124: 245-265.
[109] Cotter J and Dowd K. Extreme Spectral Risk Measures: An Application to Futures Clearinghouse Margin Requirements [J]. Journal of Banking and Finance, 2006, 30: 3469-3485.
[110] Cvitanic J and Karatzas I. On Dynamic Measures of Risk [J]. Finance and Stochastics, 1999,3: 451-482.
[111] Danielsson J, Jorgensen B N, Sarma M and de Vries C G. Sub-additivity Re-examined: the Case for Value-at-Risk [EB/OL], London School of Economics, 2005.
[112] Danielsson J, Jorgensen B N, Sarma M and de Vries C G. Consistent Measures of Risk [EB/OL]. Econpapers, 2006.
[113] De Giorgi E. Reward-Risk Portfolio Selection and Stochastic Dominance [J]. Journal of Banking and Finance, 2005,29: 895-926.
[114] Dembo R S and King A J. Tracking Models and the Optimal Regret Distribution in Asset Allocation [J]. Applied Stochastic Models and Data Analysis, 1992, 8:151-157.
[115] Dembo R S and Rosen D. The Practice of Portfolio Replication: a Practical Overview of Forward and Inverse Problems [J]. Annals of Operations Research, 1999, 85: 267-284.
[116] Denault M. Coherent Allocation of Risk Capital [J]. Journal of Risk, 2001, 4: 1-34.
[117] Dentcheva D, Ruszczynski A. Optimization with Stochastic Dominance Constraints [J]. SIAM Journal on Optimization, 2003, 14: 548-556.
[118] Dhaene J, Vanduffel S, Tang Q, Goovaerts M J, Kaas R, Vyncke D. Risk Measures and Optimal Portfolio Selection [R]. Lyon: Proceedings of the Seventh International Congress on Insurance: Mathematics and. Economics,2003.
[119] Dhaene J, Laeven R J A, Vanduffel S, Darkiewicz G and Goovaerts M J. Can a Coherent Risk Measure Be Too Subadditive? [EB/OL]. The Pensions Institute Cass Busines School, 2005.
[120] Dowd K and Blake D. After VaR: the Theory, Estimation, and Insurance Applications of Quantile-Based Risk Measures [J]. Journal of Risk and Insurance, 2006, 73(2): 193-229.
[121] Duarte A M. Fast Computation of Efficient Portfolios [J]. Journal of Risk, 1999,1(4): 71-94.
[122] Duffie D, Pan J. An overview of value at risk [J]. Journal of Derivatives, 1997, 5:7-49.
[123] Efron B. Better Bootstrap Confidence Intervals [J]. Journal of the American Statistical Association, 1987, 82: 171-200.
[124] Ellsberg D. Risk, Ambiguity, and the Savage Axioms [J]. Quarterly Journal of Economics, 1961, 75:643-669.
[125] Embrechts P. Modelling Extremal Events for Insurance and Finance [M]. New York: Springer, 1997.
[126] Embrechts P, McNeil A and Straumann D. Correlation and Dependence in Risk Management: Properties and Pitfalls[A]. In: Dempster M and Moffatt H, eds. Risk Management: Value at Risk and Beyond [M]. New York: Cambridge University Press, 2002, 176-223.
[127] Fama E F. the Behavior of Stock-Market Prices [J]. Journal of Business, 1965, 38:34-105.
[128] Fang K T and Anderson T W. Statistical Inference in Elliptically Contoured and Related Distributions [M]. Allerton Press, 1990.
[129] Feinstein C D and Thapa M N. A Reformulation of a Mean-Absolute Deviation Portfolio Optimization Model [J]. Management Science, 1993, 39:1552-1553.
[130] Fishburn P C. Mean-Risk Analysis with Risk Associated with Below Target Returns [J]. American Economic Review, 1977, 1: 116-126.
[131] Fishburn P C. Stochastic Dominance and Moments of Distributions [J]. Mathematical of Operations Research, 1980, 5:94-100.
[132] Follmer H, Schied A. Convex Measures of Risk and Trading Constraints [J]. Finance and Stochastics, 2002, 6: 429-447.
[133] Gaivoronski G A, Plug G. Finding Optimal Portfolios with Constraints on Value at Risk[R]. Stockholm:Proceedings of the III Stockholm Seminar on Risk Behavior and Risk Management, 1999, 1.
[134] Giannopoulos K and Tunaru R. Coherent Risk Measures under Filtered Historical Simulation [J]. Journal of Banking and Finance, 2005, 29: 979-996.
[135] Goovaerts, M J, DeVylder F and Haezendonck J. Insurance Premiums: Theory and Applications [M]. North-Holland, Amsterdam, 1984.
[136] Goovaerts M J, Kaas R and Dhaene J. Economic Capital Allocation Derived From Risk Measures [J]. North American Actuarial Journal, 2003, 7(2): 44-59.
[137] Gotoh J and Konno H. Third Degree Stochastic Dominance and Mean-Risk Analysis [J]. Management Science, 2000, 46: 289-301.
[138] Grootveld H and Hallerbach W. Variance vs Downside Risk: Is There Really That Much Difference? [J]. European Journal of Operational Research, 1999, 114:304-319.
[139] Hadar J and Russell W. Rules for Ordering Uncertain Prospects [J]. American Economic Review, 1969, 59:25-34.
[140] Hanoch G and Levy H. The Efficiency Analysis of Choices Involving Risk [J]. Review of Economic Studies, 1969, 36:335-346.
[141] Harlow W V, Ramesh K S Rao. Asset Pricing in a Generalized Mean-Lower Partial Moment Framework: Theory and Evidence [J]. Journal of Financial and Quantitative Analysis, 1989,24:285-311.
[142] Huang Chi-fu and Litzenberger R.H. Foundations for Financial Economics [M]. New York: North-Holland, 1988.
[143] Ingersoll J E. Theory of Financial Decision Making [M].Totowa, New Jersey: Rowman&Littlefield Publishers, Inc., 1987.
[144] Jackson P, Maude D J, Perrandin W. Bank Capital and Value at Risk [J]. Journal of Derivatives, 1996,2: 39-70.
[145] Jorion P. Value at Risk : the New Benchmark for Managming Financial Risk [M]. McGraw-Hill, Inc., 2001.
[146] Joy C, Boyle P.P. and Tan K.S. Quasi-Monte Carlo Methods in Numerical Finance [J]. Management Science, 1996, 42(6): 926-938.
[147] Kahneman D and Tversky A. Prospect Theory: An Analysis of Decision under Risk [J]. Econometrica, 1979,47: 263-291.
[148] Kamdem J S. Value at Risk and Expected Shortfall for Linear Portfolios with Elliptically Distributed Risk Factors [EB/OL]. EconWPA, Risk and Insurance, 2004a.
[149] Kamdem J S. VaR and ES for Linear Portfolios with Mixture of Generalized Laplace Distributed Risk Factors [EB/OL]. EconWPA, Risk and Insurance, 2004b.
[150] Kataoka S. A Stochastic Programming Model [J]. Econometrica, 1963, 31:181-196.
[151] Kellerer H, Mansini R and Speranza M G. Selecting Portfolios with Fixed Costs and Minimum Transaction Lots [J]. Annals of Operations Research, 2000, 99:287-304.
[152] Kevin Dowd. Beyond Value at Risk [M]. Chichester: John Wiley & Sons, 1998.
[153] King B. Market and Industry Factors in Stock Price Behavior [J]. Journal of Business, 1966, 39:139-140.
[154] Konno H and Wrjayanayake A. Portfolio Optimization Problem under Concave Transaction Costs and Minimal Transaction Unit Constraints [J]. Mathematical Programming, 2001, 89: 233-250.
[155] Konno H and Yamazaki H. Mean Absolute Deviation Portfolio Optimization Model and Its Application to Tokyo Stock Market [J]. Management Science, 1991,37:519-531.
[156] Krokhmal P, Palmquist J S. Uryasev. Portfolio Optimization with Conditional Value-At-Risk Objective and Constraints [J]. Journal of Risk, 2002, 4(2):43-68.
[157] Kroll Y, Levy H and Markowitz H. Mean-Variance Versus Direct Utility Maximization [J]. Journal of Finance, 1984, 39: 47-62.
[158] Kusuoka S. On law Invariant Coherent Risk Measures [J]. Advances in Mathematical Economics, 2001, 3: 83-95.
[159] Landsman Z and Emiliano A V. Tail Conditional Expectations for Elliptical Distribution [J]. North American Actuarial Journal, 2002, 7:55-71.
[160] Levy H. Stochastic Dominance and Expected Utility: Survey and Analysis [J]. Management Science, 1992, 38(4): 555-593.
[161] Levy H and KrollY. Ordering Uncertain Options with Borrowing and Lending [J]. Journal of Finance, 1978, 33: 553-573.
[162] Lichtenstein S and Slovic P. Reversals of Preference between Bids and Choices in Gambling Decisions [J]. Journal of Experimental Psychology, 1971, 89:46-55.
[163] Linsmeier T J, Neil D Pearson. Value at Risk [J]. Financial Analyst Journal, 2000, Vol. 56, No. 2: 47-67.
[164] Lucas A, Klaassen P. Extreme Returns, Downside Risk and Optimal Asset Allocation [J]. Journal of Portfolio Management, 1998, 25(1): 71-79.
[165] Mandelbrot B.B. New Methods in Statistical Economics [J]. Journal of Political Economy, 1963, 71:421-440.
[166] Mandelbrot B.B. the Variation of Certain Speculative Prices [J]. Journal of Business, 1963, 394-419.
[167] Mansini R., Ogryczak W. and Speranza M. G. On LP Solvable Models for Portfolio Selection [J]. Informatica, 2003,14:37-62.
[168] Mansini R., Ogryczak W. and Speranza M.G. LP Solvable Models for Portfolio Optimization: A Classification and Computational Comparison [M]. IMA Journal of Management Mathematics, 2003,14:187-220.
[169] Mansini R and Speranza M G An Exact Approach for the Portfolio Selection Problem with Transaction Costs and Rounds [J]. IIE Transactions, 2005, 37: 919-929.
[170] Markowitz H M. Portfolio Selection [J]. Journal of Finance, 1952, 7: 77-91.
[171] Mausser H, Rosen D. Efficient Risk/Return Frontiers for Credit Risk [J]. ALGO Research Quarterly, 1999, 2(4): 35-48.
[172] Merton R C. An Analytical Derivation of the Efficient Portfolio Frontier [J]. Journal of Financial and Quantitative Analysis, 1972, 7:1851-1872.
[173] Merton R C. Continuous-Time Finance [M].Malden: Blackwell Publishing, 1990.
[174] Michalowski W, Ogryczak W. Extending the MAD Portfolio Optimization Model to Incorporate Downside Risk Aversion [J]. Naval Research Logistics, 2001,48:185-200.
[175] Muliere P and Scarsini M. A Note on Stochastic Dominance and Inequality Measure [J]. Journal of Economic Theory, 1989, 49: 314-323.
[176] Ogryczak W and Opolska-Rutkowska M. SSD Consistent Criteria and Coherent Risk Measures [A]. In: System Modeling and Optimization, Proceedings of the 22nd IFIP TC7 Conference [C]. Springer 2006, 226-237.
[177] Ogryczak W and Ruszczynski A. From Stochastic Dominance to Mean-Risk Models: Semidevations as Risk Measures [J]. European Journal of Operational Research, 1999, 116:33-50.
[178] Ogryczak W and Ruszczynski A. On Consistency of Stochastic Dominance and Mean Semideviation Models [J]. Mathematical Programming, 2001:89:217-232.
[179] Ogryczak W and Ruszczynski A. Dual Stochastic Dominance and Related Mean-Risk Models [J]. SIMA Optimization, 2002,18(1): 60-78.
[180] Ogryczak W and Ruszczynski A. Dual Stochastic Dominance and Quantile Risk Measures [J]. International Transactions in Operational Research, 2002, 9: 661-680.
[181] Paskov S.H. and Traub J.F. Faster Valuation of Financial Derivatives [J]. Journal of Portfolio Management, 1995, 3: 267-279.
[182] Penza P and Bansal V K. Measuring Market Risk with Value at Risk [M].New York: John Wiley&Sons, 2001.
[183] Pflug G. Some Remarks on the Value-at-Risk and the Conditional Value-at-Risk [A]. In: Probabilistic Constrained Optimization. In: S Uryasev eds. Methodology and Applications [M]. Boston: Kluwer Academic Publishers, 2000.
[184] Porter R B and Gaumnitz J E. Stochastic Dominance vs Mean-Variance Portfolio Analysis: an Empirical Evaluation [J]. American Economic Review, 1972,62:438-446.
[185] Pritsker M. The Hidden Dangers of Historical Simulation [J]. Journal of Banking and Finance, 2006, 30: 561-582.
[186] Quirk J and Saposnik R. Admissibility and Measurable Utility Functions [J]. Review of Economic Studies, 1962, 29: 140-146.
[187] Rockafellar R T. Convex Analysis [M]. Princeton University Press, 1970.
[188] Rockafellar R T and Uryasev S. Optimization of Conditional Value-at-Risk [J]. Journal of Risk, 2000,2:21-41.
[189] Rockafellar R T and Uryasev S. Conditional Value-at-Risk for General Loss Distributions [J]. Journal of Banking and Finance, 2002,26(7): 1443-1471.
[190] Rockafellar R T, Uryasev S and Zabarankin M. Deviation Measures in Risk Analysis and Optimization [R]. Research Report 2002-7, Department of Industrial and Systems Engeering, University of Florida, 2002a.
[191] Rockafellar R T, Uryasev S and Zabarankin M. Deviation Measures in Generalized Linear Regression [R]. Research Report 2002-9, Department of Industrial and Systems Engeering, University of Florida, 2002b.
[192] Rockafellar R T, Uryasev S and Zabarankin M. Master Funds in Portfolio Analysis with General Deviation Measures [J]. Journal of Banking and Finance, 2006, 30:743-778.
[193] Roll R. A Mean/Variance Analysis of Tracking Error [J]. Journal of Portfolio Management, 1992,18:13-22.
[194] Ross S. M., Simulation [M].Singapore: Academic Press, 2002.
[195] Rothschild M, Stiglitz J E. Increasing Risk: I A definition [J]. Journal of Economic Theory, 1970, 2: 225-243.
[196] Roy A D. Safety First and the Holding of assets [J]. Econometrica, 1952, 20: 431-439.
[197] Ruszczynski A, Vanderbei R J. Frontiers of Stochastically Nondominated Portfolios [J]. Econometrica, 2003, 71:1287-1297.
[198] Samuelson P A. The Fundamental Approximation Theorem of Portfolio Analysis in terms of Means, Variances, and Higher Moments [J]. Review of Economic Studies, 1970, 37: 537-542.
[199] Schulmerich M and Trautmann S. Local Expected Shortfall-Hedging in Discrete Time [J]. European Finance Review, 2003, 7(1):75-102.
[200] Shalit H and Yitzhaki S. The Mean-Gina Efficient Portfolio Frontier [J]. Journal of Financial Research, 2005, XXVIII, 59-75.
[201] Shapiro A, Wardi Y. No differentiability of the Steady-State Function in Discrete Event Dynamic Systems [J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 1994,39:1707-1711.
[202] Simian Y. Estimation Risk in Portfolio Selection: the Mean Variance Model Virus the Mean Absolute Deviation Model [J]. Management Science, 1997, 43: 1437-1446.
[203] Sortino F A and Forsey H J. On the Use and Misuse of Downside Risk [J]. Journal of Portfolio Management, 1996, winter: 35-42.
[204] Stambaugh F. Risk and Value-at-Risk [J]. European Management Journal, 1996,14:612-621.
[205] Szego G. Measures of Risk [J]. Journal of Banking and Finance, 2002, 26: 1253-1272.
[206] Telser L G. Safety First and Hedging [J]. Review of Economic Studies, 1955, 23:1-16
[207] Tobin J. Liquidity Preference as Behavior towards Risk [J]. Review of Economic Studies, 1958, 25:65-86.
[208] Topaloglou N, Vladimirou H and Zenios S A. CVaR Models with Selective Hedging for International Asset Allocation [J]. Journal of Banking and Finance, 2002, 26:1535-1561.
[209] Wang S S. Premium Calculation by Transforming the Layer Premium Density [J]. Astin Bulletin, 1996, 26(1):71-92.
[210] Wang S S. A Class of Distortion Operations for Pricing Financial and Insurance Risks [J]. Journal of Risk and Finance, 2000, 67: 15-36.
[211] Wang S S, Young V R and Panjer H H. Axiomatic Characterization of Insurance Prices, 1997, 21: 173-183.
[212] Wang Shouyang and Xia Yusen. Portfolio Selection and Asset Pricing [M]. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2002.
[213] Yamai Y and Yoshiba T. Comparative Analysis of Expected Shortfall and Value-at-Risk: Their Estimation Error, Decomposition and Optimization [J]. Monetary and Economic Studies, 2002a, 20: 87-122.
[214] Yamai Y and Yoshiba T. Comparative Analysis of Expected Shortfall and Value-at-Risk: Their Validity under Market Stress [J]. Monetary and Economic Studies, 2002b, 20: 81-237.
[215] Yitzhaki S. Stochastic Dominance, Mean Variance, and Gini's Mean Difference [J]. American Economic Review, 1982, 72(1):178-185.
[216] Yitzhaki S. On an Extension of the Gini Inequality Index [J]. International Economic Review, 1983,24: 617-628.
[217] Yitzhaki S. More Than a Dozen Alternative Ways of Spelling Gini [J]. Reseach on Economic Inequality, 1998,8:13-30.
[218] Young M R. A Minimax Portfolio Selection Rule with Linear Programming Solution [J]. Management Science, 1998,44(5):673-683.
[219] Zenios S A and Kang P. Mean-Absolute Deviation Portfolio Optimization for Mortgage-backed Securities [J]. Annals of Operations Research, 1993,45: 433-450.
[220] Ziemba W T and Mulvey J M. Worldwide Asset and Liability Modeling [M]. Cambridge:Cambridge University Press, 1998.
2 实际上，利文斯(Leavens)(1945)研究债券组合风险时也用到了方差，并发现随着债券数量的增加，风险随之减小。
3 早期推动现代投资组合理论发展的学者则是托宾(1958)、夏普(1963，1964)以及林特纳(1965)等。
4 参见宋逢明的《金融工程原理》第三章。
5 马克维茨在其1987年的著作中提到，开创现代投资组合理论纪元的标志是罗伊(Roy)(1952)和马克维茨(1952)所发表的两篇论文。但多数文献和教科书在涉及这一问题时往往仅提及马克维茨(1952)的工作，却忽略了罗伊曾做出的贡献。
6 比如，当组合含有国外的股票、债券、金融衍生品、实物资产时，该组合的构成是复杂的。
7 马克维茨意识到：实际上，投资者仅将损失的一面视作风险。
8 下行风险度量往往与投资者对风险的一般认识相一致。比较理想的情况是，对于不同的下行风险水平，赋予的权重也不一样，即风险越高，权重越大，从而给予的惩罚越高，以充分反映投资者的风险厌恶特征。
9 基于VaR方法的风险管理体系日臻成熟。从VaR的计算、后验测试、误差分析、VaR边际分析到压力测试、极值分析等，都有相对成熟的讨论，详细内容可参见王春峰(2001)的著作。相比之下，CVaR估值和事后检验则比较麻烦，不易实施，因为CVaR大致可理解为超过VaR的那部分损失的平均值，定义上不仅依赖于VaR，而且计算时需要的数据量也远多于VaR计算。因此，本文认为，CVaR尽管在理论性质上似乎优于VaR，但要取代VaR方法尚待时日。不过，我们将会看到，在投资组合优化情形，CVaR则具有VaR无可比拟的优势。
10 稳定帕累托分布亦被称为分形分布，其特征是方差无定义或者是无限的。
11 马克维茨(1959)详细地讨论了效用函数的二次逼近问题。
12 普拉特(1964)和阿罗(1965)认为二次效用函数假设是荒谬的。列维和马克维茨(1979)将二次逼近分为三种类型，认为普拉特(1964)和阿罗的反对意见仅适用其中的一个情形。
13 均值-方差模型可归结为二次规划求解问题，规模越大，求解难度越高。不过，在计算机技术飞速发展的今天，这一问题已没有那么严重了。
14 又如，金融机构在向各部门、各业务间配置风险资本时，也要求具有风险分散化效应。
15 有关子可加性、正齐次性以及其他一些术语的经济含义将在后续章节讨论。
16 高全胜(2004)、李选举和高全胜(2004)将coherent risk measure翻译成“相容风险测度”。朱书尚、李端、周迅宇和汪寿阳(2004)亦将coherent risk measure翻译成“相容性风险测度”。
17 本文认为，应该在特定场合下考察阿特兹纳的平移不变性公理，该公理更多是针对风险资本要求而提出的。
18 他们将stochastic dominance翻译为“随机控制”，本文使用“随机占优”这一译法。
19 从文献搜索结果看，从事组合优化模型研究的学者的专业大多归属于管理科学与工程、 经济数学、金融数学、金融工程等领域。
20 当然，长期投资者控制短期风险的方法还有很多，比如可以利用衍生品交易控制组合的短期风险，或许比本文给出的模型更有效。
1 亦称为冯·诺伊曼-摩根斯特恩效用函数，简记为v.N-M效用函数。
2 v.N-M效用函数存在性定理的推导过程在许多教科书中都可以找到，这里不在赘述，可参见黄(Huang)和李兹森伯格(Litzenberger)(1988)、英格索(1987)以及史树中(2004)的论著。
3 一般地，可以假定投资者的风险厌恶程度随着财富的增加而递减。
4 参见蔡(Tsay)(2002)的金融时间序列分析。
5 比如，考虑一笔价值为100元的投资，在第一个月其价值下跌到50元，在第二个月其价值又上涨到75元，则第一个月的收益率为-50％，第二个月的收益率为50％，那么这笔投资在两个月内的平均月收益率为多少?如果按照算术平均法计算，则平均月收益率为0。显然此时给出的算术平均收益并没有真实反应这笔投资的损益情况。如果按照几何平均法计算，则得到的几何平均月收益为-13.4％。
6 参见谢晓非和李育辉(2002)以及高全胜(2004)所做的研究。
7 例如，普通退休人员拿出养老金炒股，一旦蒙受较高损失，其所带来的风险是比较大的，而对富有的人来说，情况就有所不同的。
8 本文以随机变量X表示不确定结果，如无特别说明，X代表投资组合的名义回报，即每单位货币投资的利得或损失，通常用连续复利收益率代表，正值代表收益，负值代表损失。
9 参见滋维．博迪(Zvi Bodie)的投资学(第五版)。
10 基尼均差作为波动性的度量，由基尼(1912)提出。基尼均差与期望值的比值即为基尼指数，该指数用于度量收入的不平等性。伊扎崎(1982，1984)则以基尼均差为风险度量研究投资组合优化问题。
11 菲什伯恩(1977)将LPM称为α-t模型，这里α为阶数，t为目标收益率。
12 Value at Risk简记为VaR，而不是简记为VAR、Var或var，因为VAR代表向量自回归的意思，Var和var一般指方差。
13 与阿特兹纳等(1999)给出的定义不同，奥格里捷克和卢斯捷因斯基(2002)用收益分布的下p分位数作为VaR的定义。不过，本文将采用阿特兹纳等(1999)给出的VaR定义。实际上，当分布函数为连续型时，上p分位数等于下p分位数，此时VaR的定义是唯一的。不过，当组合含有期权等收益分布非连续的资产时，或者利用离散的历史收益情景计算VaR时，上p分位数与下p分位数会出现不等的情况。
14 子可加性的概念将在下一章予以介绍。简单地讲，VaR不具有子可加性，意味着以VaR为风险度量指标有可能导致组合出现违背分散化效应的情况，即分散化投资非但没有使组合的VaR值下降，反而增加了VaR值。
15 国内对expected shortfall的翻译可谓五花八门，笔者搜集到的翻译有：预期不足、预期损失、条件期望损失、样本外预期损失、极端风险值等。本文采用条件期望损失这一译法。
16 洛克菲勒和尤尔约瑟夫(2000，2002)给出了基于损失变量的CVaR定义，本文将在后续章节中做详细讨论。
17 在有关的中文文献中，Drawdown还未找到合适的翻译，该词原义是指水位的降低、水位的降低量、降深。根据DrawDown指标的定义及含义，本文认为把DrawDown翻译成‘降深’比较合适。此外，才可洛夫等(2005)将单样本路径下的CDaR称为Conditional DrawDown。
18 这里，我们依然假设(1-α)·N是整数。
1 协单调概念是由Schmeidler(1986)和Yaari(1987)给出的，用于研究两个随机变量X与Y之间的强正相关关系。对于样本空间Ω，如果不存在ω_1，ω_2∈Ω，使得X(ω_1)＜X(ω_2)且Y(ω_1)＞Y(ω_2)，则称X与Y是协单调的。
2 综观现有的文献，对一致风险测度理论做深入批判的文章较少，也侧面说明该理论在一定范围内具有一定的合理性。
3 若L定义在概率空间(Ω，F，P)上，则不等式X(ω)≥0应理解为在概率意义下几乎必然成立，对于小于等于以及严格小于的情况，做同样的理解。
4 阿特兹纳等(1999)分别从监管者、清算公司以及投资管理人的角度讨论了可接受风险集在现实中的意义。在投资情形，不妨将可接受集与可接受的投资对应起来。
5 若对任意X∈Γ和任意λ≥0，都有λX∈Γ，则称Γ为以原点为顶点的锥。如果Γ为凸的，则称它为凸锥。
6 此时，标准基尼均差为扩展基尼均差的特殊情形。
7 参见Goovaerts，Kaas和Dhaene(2002)、Danielsson，Jorgensen，Sarma和de Vries(2005)、Dhaene，Laeven，Vanduffel，Darkiewicz和Goovaerts(2005)等所做的研究。
8 从监管的角度看，银行提取的准备金越多，风险越小。
9 兰德斯曼(Landsman)和瓦尔德斯(Valdez)(2003)给出的椭圆分布与本文采用的定义形式上存在微小差别，参见附录3．1。
10 实践中，椭圆分布的边际分布是椭圆分布这一结论给风险建模带来不小的难题，因为尽管组合的分布是椭圆型的，但组合中各资产的概率分布可以不是椭圆分布。
11 这里，随机变量Z可看作是服从椭圆分布的资产向量X=(X_1，X_2…，X_n)~T的一个组合，即Z=∑w_iX_i，这里w_i为投资权重，且∑w_i=1。
12 实际上，对于正态分布以外的其他椭圆分布，q_α的计算公式往往比较复杂。
13 福鲁格(2002)基于济克菲勒和尤尔约瑟夫(2000，2002)所定义的CVaR，给出了连续分布情形下CVaR子可加性的证明。
14 本文采用达纳(Dhaene)等人(2003)给出的失真风险测度的定义，该定义与王(1996)给出的定义形式上稍有不同，但本质上是一样的。之所以存在形式上的差别是因为王(1996)假定代表损失的随机变量是非负的随机变量，而本文假定损失变量可以取负值，此时取负值的损失变量实际上代表的是收益。
15 在罗斯柴尔德和斯蒂格利茨(1970，1971)给出的二阶随机占优定义中，还要求X_1的期望值等于X_2的期望值。另见黄和李兹森伯格(1988)。
16 另见夏洛克斯(Shorrocks)(1983)以及沙利特(Shalit)和伊扎崎(Yitzhaki)(1994)。
17 需要注意的是，奥格里捷克和卢斯捷因斯基(2002)给出的CVaR定义与本文采用的定义不同，差别在于前者给出的定义在式(3-25)等号右边没有负号。虽然存在差别，但不影响问题的实质。
18 在英文里，coherent与consistent均有“一致”的意思，但后者特指与随机占优相一致。
1 可以看到，依据罗伊准则给出最优组合的前提是确定投资组合的均值-方差有效边界。后文将讨论均值-方差有效边界
2 在经典的马克维茨均值-方差模型里，一般将限制卖空(w≥0)情形的均值-方差模型做为标准形式，而将无卖空限制的模型称为布莱克模型，如果在模型(4-28)中引入无风险资产，则所得到的模型被称为托宾-夏普-林特纳模型。详细讨论参见马克维茨(1987)的著作。
3 显然，这里介绍的最优组合选择过程与罗伊准则、片冈准则等存在明显的区别。罗伊准则和片冈准则不需要设定效用函数形式，就这一点而言是简单实用的。
4 两基金分离定理指的是，在风险资产组合的有效边界上任选两个分离的点所代表的有效组合，则有效边界上其他点所代表的有效组合均可表示为这两个组合的线性组合。在图4．4中，f和M点即构成了两基金，f代表无风险资产，M代表某一充分分散化的组合。
5 但在特殊情况下，均值-方差模型有其合理性。比方说，资产的收益率服从正态分布 N(μ，σ~2)，此时三阶及三阶以上的中心矩中，奇数阶矩全为0，偶数阶矩可写成均值、方差的函数，此时的均值-方差模型是合理的。但正态分布假定与金融市场数据所表现出的尖峰厚尾特征不符。
6 马克维茨(1959)就曾采用二次效用函数来逼近投资者的真实效用函数。
7 对二次效用函数的评价可参见夸克和沙波斯尼科(1962)、鲍莫尔(1963)、普拉特(1964)、林特纳(1965)、博尔奇(1969)以及哈达尔和拉塞尔(1969)等学者所做的研究。
8 本文讨论的风险在不同场合的含义有所区别。例如，在讨论双边风险度量时实际上隐含地把风险定义为偏离均值或者某一目标值的程度及可能性，而不管这种偏离是有利的还是不利的。
9 因为MAD是半离差的两倍，故MAD模型也可以半离差为风险度量，最优化结果是一样的。
10 基尼均差的数学表达形式有很多，这里采用协方差形式。
1 本文给出的VaR和CVaR的定义是基于洛克菲勒和尤尔约瑟夫(2002)的研究。艾克比和塔斯克(2002)也有类似的研究，只不过他们是给随机收益变量定义VaR和CVaR，而洛克菲勒和尤尔约瑟夫给出的是随机损失变量的VaR和CVaR。此外，在艾克比和塔斯克(2002)发表的论文中，将CVaR称为expected shortfall，并且指出expected shortfall与洛克菲勒和尤尔约瑟夫(2002)定义的CVaR是等价的。奥格里捷克等(2002，2006)给出的也是随机收益变量的CVaR定义，形式上与本文采用的定义存在区别，但本质上是一样的。
2 奥格里捷克和卢斯捷因斯基(2002)定义的VaR即为上VaR。
3 毛瑟尔和罗森的mean shortfall与艾克比的expected shortfall虽然称谓上类似，但从数学角度讲，依然存在差别，expected shortfall与CVaR是等价的，也是一致风险测度。参见艾克比和塔斯克(2002)。
4 参见阿特兹纳等(1999)、福鲁格(2000)、艾克比和塔斯克(2002)以及洛克菲勒和尤尔约瑟夫(2000，2002)等学者所发表的论文。
5 若采用形如(5-13)的定义，则得到的结论是类似的，但证明的过程稍显复杂，相关讨论 可参见洛克菲勒和尤尔约瑟夫(2002)发表的论文。
6 该证明引自洛克菲勒和尤尔约瑟夫(2000)。基于式(5-13)的证明参见洛克菲勒和尤尔约瑟夫(2002)。
7 目前，在上海证券交易所买卖股票，主要涉及以下几种费用：印花税、佣金、过户费、委托费以及结算费。
8 也可利用金融衍生品对组合短期内的下行风险进行管理，比如可利用股指期货对组合做部分对冲，或者利用看跌期权对股票实施保护。
9 在本文，市场因子特指证券的历史价格或者历史收益率。但市场因子也可是其他一些指标。比如，当组合包含外汇期权、互换等衍生品时，市场因子包含利率、汇率和标的资产价格等。参见菲利普·乔瑞(2001)及王春峰(2001)等学者的著作。
10 关于历史模拟法的优劣评价，可参见菲利普·乔瑞(2001)、皮埃特罗·潘泽和维普·K·班塞尔(2001)以及王春峰(2001)等学者的著作。
11 例如平方取中法、移位指令加法、同余法等，详见徐钟济(1985)的著作《蒙特卡洛方法》，这里不再赘述。
12 这部分内容的详细讨论可参见菲利普·乔瑞(2001)、王春峰(2001)、蔡(2002)、皮埃特罗·潘泽和维普·K·班塞尔(2001)以及龚光鲁和钱敏平(2003)等学者的著作。
13 比如有Halton序列、Faure序列以及Sobol序列等。
14 比如当投资组合是由不同币种的债券、股票、期货、期权等组成时，为获取可靠的估计，所需样本规模是非常大的，此时传统的蒙特卡洛模拟法负担沉重，共至根本不能实施。
15 在确定相关系数矩阵尤其是大规模的相关系数矩阵时，会遇到许多问题，比如得到的矩阵可能不是正定的，会给模拟带来不小的麻烦。又如资产间的相关性可能是不稳定的。关于该话题的讨论详见巴罗尼-阿德斯、吉安诺普罗斯和维斯柏(1998)所发表的论文。
16 自助法(Bootstrap)抽样技术是一种近似方法，由埃弗龙(Efron)(1979)提出。该方法主要基于给定的抽样数据，通过随机的、有重复的再抽样，对统计量的分布情况做统计推断和仿真。自助法的优点在于取样范围广，可以涵盖厚尾、跳跃和任何与正态分布不相符的地方。此外，该方法也考虑金融资产间的相关性。自助法的不足在于当样本容量很小时，由该方法得出的分布与实际分布的近似程度较低。该方法的另一缺点在于它过分依赖收益率的独立性假设。
17 当然，可以选取更多的股票，比如500只。选取的股票越多，越能体现出CVaR投资组合优化模型相对于均值-方差模型的优势，尤其能体现出CVaR模型更便于实施这一优势。但是，本文仅选取10只股票，主要是对CVaR模型本身进行模拟分析。在下一章，本文将比较CVaR模型与均值方差模型，并做模拟分析。
18 本文未选取2005年和2006年的观测值，主要是由于2005年和2006年，各上市公司相继实施股权分置改革，存在时间不等的停牌现象，造成交易的中断，故未将这两年的交易情况纳入样本。
19 这里不再一一列出各股票的自相关函数图。
20 对模型的适用性检验方法还包括：标准化残差序列分布的拟合优度检验、ARCH效应检验等。
21 根据需要，可取更长的期限，比如5年，10年。短期则可取半年、一年等。本文并不就短期投资和长期投资的界定做展开讨论，本文选1年的时间段为长期，一个月为短期，目的仅是为了模拟本文所构建的模型。
22 也可选取其他阈值，不过，如果选取的阈值太低，则模型无可行解。
23 选取的置信水平不必相等。根据需要，短期CVaR和长期CVaR的计算可选取不同的置信水平。例如，长期CVaR约束可选取95％的置信水平，短期CVaR约束可选取99％的置信水平。
1 哈利·M·马克维茨在其1987年的著作中，假定协方差矩阵是半正定的，认为这样的假设更有价值。在理论和实际应用中，存在协方差矩阵奇异的情形，比如，实际工作人员采用较少的历史数据计算协方差矩阵时，就会出现奇异的情况。又如，证券组合中存在股票的看涨期权、看跌期权和该股票，此时协方差矩阵可能是奇异的。但为讨论方便起见，本文假定协方差矩阵是非奇异的。
2 参见洛克菲勒和尤尔约瑟夫(2000)所发表的论文。
3 为讨论方便起见，假设允许卖空。但在卖空被禁止或者受限的情况下，均值-方差有效边界依然是凸的，但没有封闭解。有关不允许买空条件下的均值-方差模型的讨论，可参见马克维茨1987年的著作。此外，国内学者唐小我等(2003)对多种情形下的均值-方差模型也有很深入的研究。
4 黄和李兹森伯格(1988)也对投资组合边界方程做了详细的推导和讨论。
5 相关研究参见亚历山大和巴普蒂斯塔(2002)。
6 多元t分布假定下，VaR的计算公式推导过程详见坎德姆(2004a)。
7 坎德姆(2004b)还给出了广义拉普拉斯分布(generalized Laplace distribution)假定下，VaR和CVaR的计算公式。此外，坎德姆(2004a，2004b)还推导了混合椭圆分布、时变椭圆分布假定下，VaR和CVaR的计算公式。
8 该论断的证明过程属于纯数学处理，过程从略。
9 本文中实施CVaR模型时所采用的离散化操作包含两个假定：1)未来情景是有限的；2)每种情景是等概率发生的。显然，这些假定与实际情况存在一定出入，从而导致正态分布条件下，CVaR模型给出的最优解与均值-方差模型不完全一致。
10 与均值-方差模型不同的是，CVaR模型可转化为线性规划模型。
1 参见坎贝尔等(2002)的《战略资产配置》(陈学彬等译，上海财经大学出版社，2004年版)和莫顿(1990)的《连续时间金融》(有中译本)。
2 随着状态空间的加大，随机动态规划问题越发难于求解。随机动态规划的求解受制于状态变量的维数，维数越高，求解难度越大，这一现象被称为维数的诅咒(curse of dimensionality)。
[1] 埃德加E彼得斯 著，王小东 译．资本市场的混沌与秩序[M]．北京：经济科学出版社，1999．
[2] 蔡瑞胸 著，潘家柱 译．金融时间序列分析[M]．北京：机械工业出版社，2006．
[3] 曹静，秦超英，覃森．均值-CVaR模型下的两基金分离定理[J]．系统工程学报，2006，4：202-205．
[4] 陈金龙，张维．CVaR与投资组合优化统一模型[J]．系统工程理论方法应用，2002，3：68-71．
[5] 陈守东，孔繁利，胡铮洋．基于极值分布理论的VaR与ES度量[J]．数量经济技术经济研究，2007，24(3)：118-124．
[6] 陈学彬，傅东升，葛成杰．我国居民个人生命周期消费投资行为动态优化模拟研究[J]．金融研究，2006，2：21-35．
[7] 戴维·M·达斯特著，李康等译．资产配置的艺术[J]．上海：上海人民出版社，2005．
[8] 高飞，赵振全．随机控制理论与风险度量[J]．数量经济技术经济研究，2002，6：72-75．
[9] 高全胜．金融市场风险计量与优化[J]．武汉工业学院学报，2004，9：80-83．
[10] 龚光鲁，钱敏平．应用随机过程教程及其在算法和智能计算中的应用[M]．北京：清华大学出版社，2003．
[11] 龚六堂．动态经济学方法[M]．北京：北京大学出版社，2002．
[12] 哈利M马克维兹 著，刘军霞，张一驰 译．资产选择—投资的有效分散化[M]．北京：首都经济贸易大学出版社，2000．
[13] 哈利M马克维茨 著，朱菁，欧阳向军 译．资产组合选择和资本市场的均值-方差分析[M]．上海：上海三联书店和上海人民出版社，1999．
[14] 哈姆·勒维，马歇尔·萨纳特著，陈云林等译．证券投资组合与选择[M]．广州：中山大学出版社，1997．
[15] 何光辉，杨咸月．现代金融风险测度方法的局限与突破[J]．上海金融，2004，5：30-32．
[16] 何琳洁，文风华和马超群．基于一致性风险价值的投资组合优化模型研究[J]．湖南大学学报(自然科学版)，2005，4：126-128．
[17] 何信，张世英和孟利锋．动态—致性风险度量[J]．系统工程理论方法应用，2003，12(3)：243-247．
[18] 贺思辉，王茂和李佼瑞．不完备Yaari对偶理论与风险序化技术[J]．西安 石油大学学报(自然科学版)，2005，1：83-86．
[19] 胡支军，黄登仕．一个非对称风险度量模型及组合证券投资分析[J]．中国管理科学，2005，4：8-14．
[20] 胡支军，彭飞，黄登仕．一个推广的半绝对离差证券组合投资模型[J]．系统工程，2004，3：57-61．
[21] 蒋殿春．现代金融理论[M]．上海：上海人民出版社，2001．
[22] 景明利，张峰，杨纯涛．金融风险度量VaR与CVaR方法的比较研究及应用[J]．统计与新息论坛，2006，9：84-87．
[23] 李萍，李楚霖．标准化风险度量与投资决策的双目标优化[J]．应用数学，2005，18(1)：167-173．
[24] 李婷，张卫国．风险资产组合均值CVaR模型的算法分析[J]．安徽大学学报(自然科学版)，2006，11：4-7．
[25] 李小平，刘小茂．风险资产组合的均值-M有效前沿及其实证分析[J]．中国管理科学，2005，10：6-11．
[26] 李选举，高全胜．交易费用和CVaR风险测度下的稳健投资组合[J]．数量经济技术经济研究，2004，8：85-90．
[27] 李仲飞，姚京．安全第一准则下的动态资产组合选择[J]．系统工程理论与实践，2004，1：41-45．
[28] 林辉，何建敏．VaR在投资组合应用中存在的缺陷与CVaR模型[J]．财贸经济，2003，12：46-49．
[29] 林志炳，徐保光．一致性风险度量的概念、形式、计算和应用[J]．统计与决策，2006，3：6-9．
[30] 刘彪，刘小茂．Monte-Carlo模拟在VaR与CVaR中的应用[J]．武汉科技学院学报，2006，11：58-61．
[31] 刘红忠，邵宇．金融市场学[M]．北京：高等教育出版社，2005．
[32] 刘红忠，蒋冠．金融市场学[M]．上海：上海财经大学出版社，2006．
[33] 刘俊山．基于风险测度理论的VaR和CVaR的比较研究[J]．数量经济技术经济研究，2007，24(3)：125-133．
[34] 刘小茂．资产组合的CVaR风险的敏感度分析[J]．数学物理学报，2004，24(A)：442-448．
[35] 刘小茂，杜红军．金融资产的VaR和CVaR风险的优良估计[J]．中国管理科学，2006，10：1-6．
[36] 刘小茂，李楚霖和王建华．风险资产组合的均值-CVaR有效前沿(Ⅰ)[J]．管理工程学报，2003，1：29-32．
[37] 刘小茂，李楚霖和王建华．风险资产组合的均值-CVaR有效前沿(Ⅱ)[J]．管理工程学报，2005，1：1-5．
[38] 刘小茂，罗樱．CVaR风险度量下的安全第一标准[J]．华中科技大学学报(自然科学版)，2005，4：115-117．
[39] 刘小茂，马林．资产相对价值的VaR和CVaR风险[J]．统计与决策，2006，8：128-129．
[40] 刘小茂，田立．VaR与CVaR的比较研究及实证分析[J]．华中科技大学学报，2005，10：112-114．
[41] 刘晓星．基于CVaR的投资组合优化模型研究[J]．商业研究，2006，14：15-18．
[42] 刘志东．Downside-Risk风险度量方法研究[J]．统计与决策，2006，6：25-28．
[43] 刘志东．不同均值-风险准则下的资产组合有效前沿比较研究[J]．经济数学，2006，3：26-35．
[44] 刘志新和牟旭涛．投资组合最大损失最小化模型研究[J]．系统工程理论与实践，2000，12：22-25．
[45] 罗樱，于欣．CVaR度量下基于安全第一的最优投资组合[J]．江南大学学报(自然科学版)，2006，10：624-626．
[46] 马克·洛尔，列夫·博罗多夫斯基 著．陈斌，等 译．金融风险管理手册[M]．北京：机械工业出版社，2002．
[47] 欧阳资生．极值估计在金融保险中的应用[M]．北京：中国经济出版社，2006．
[48] 荣喜民，张喜彬和张世英．组合证券投资模型研究[J]．系统工程学报，1998，13(1)：81-88．
[49] 荣喜民，张奎庭，等．有交易成本的证券投资研究[J]．系统工程学报，2003，6：198-202．
[50] 邵宇．微观金融学及其数学基础[M1．北京：清华大学出版社，2003．
[51] 沈春芳，张宛平．一个改进的Harlow下偏矩证券组合优化模型[J]．统计与决策，2006，2：16-18．
[52] 史道济．实用极值统计方法[M]．天津：天津科学技术出版社，2006．
[53] 史树中．金融经济学十讲[M]．上海：上海人民出版社，2004．
[54] 司继文，张明佳和龚朴．基于Monte Carlo模拟和混合整数规划的CVaR(VaR)投资组合优化[J]．武汉理工大学学报，2005，6：411-414．
[55] 唐爱国．广义随机占优理论[M]．北京：北京大学出版社，2005．
[56] 唐爱国，秦婉顺．广义随机占优单调一致风险测度和ES(n)[J]．金融研究，2003，4：84-93．
[57] 特伦斯C米尔斯 著，俞卓菁 译．金融时间序列的经济计量学模型[M]．北京：经济科学出版社，2002．
[58] 屠新曙，王春峰和巴蜀松．投资组合效用问题的研究[J]．数量经济技术经济研究，2002，5：37-40．
[59] 汪贵浦，王明涛．Harlow下偏矩证券组合优化模型的求解方法研究[J]．系统工程理论与实践，2003，6：42-47．
[60] 王春峰．金融市场风险管理[M]．天津：天津大学出版社，2001．
[61] 王明涛，王秋红．基于下偏矩的资源配置优化模型求解方法研究[J]．郑州工业大学学报，2001，12：38-42．
[62] 王秀国，邱菀华．基于CVaR和Monte Carlo方针的贷款组合决策模型[J]．计算机工程与应用，2007，43(4)：26-29．
[63] 卫海英，邓玮．Markowitz均值-方差理论的局限及其在我国的适用性[J]．南方金融，2004，10：30-32．
[64] 文风华等．一致性风险价值及其算法与实证研究[J]．系统工程理论与实践，2004，10：15-21．
[65] 文平．基于半范数的风险测度[J]．数学的实践与认识，2006，3：274-278．
[66] 肖贤春，胡支军．基于不同风险度量的投资组合模型实证研究[J]．贵州大学学报(自然科学版)，2006，8：250-253．
[67] 谢晓非，李育辉．风险情景中的机会和威胁认知[J]．心理学报，2002，34(3)：319-326．
[68] 徐钟济．蒙特卡洛方法[M]．上海：上海科学技术出版社，1985．
[69] 姚新颉．基于CVaR风险度量的证券组合投资决策模型研究[J]．安徽理工大学学报，2004，6：67-69．
[70] 尹优平，马丹．基于分布拟合方法的高频数据风险价值研究[J]．金融研究，2005，3：59-67．
[71] 约翰Y坎贝尔和路易斯M万斯勒 著，陈学彬等 译．战略资产配置[M]．上海：上海财经大学出版社，2004．
[72] 吴世农，陈斌．风险度量方法与金融资产配置模型的理论和实证研究[J]．经济研究，1999，9：30-38．
[73] 詹惠蓉，程乾生．拟蒙特卡罗法在亚洲期权定价中的应用[J]．数学的实践与认识，2005，9：20-27．
[74] 张金清．非理性条件下的风险偏好与投资选择研究[J]．管理评论， 2004，12：10-18．
[75] 张晓蓉，徐剑刚．VaR-ES与一致性风险度量[J]．上海管理科学，2006，4：78-80．
[76] 郑明川，吴晓梁．VaR约束下的投资组合管理[J]．技术经济与管理研究，2003，6：34-35．
[77] 朱书尚，李瑞，周迅宇和汪寿阳．论投资组合与金融优化[J]．管理科学学报，2004，12：1-12．
[78] 滋维·博迪，等著．朱宝宪，等译．投资学(第五版)[M]．北京：机械工业出版社，2002．
[79] Acerbi C. Expected Shortfall as a Tool for Financial Risk Management [EB/OL]. Abaxbank,2001.
[80] Acerbi C. Spectral Measures of Risk: a Coherent Representation of Subjective Risk Aversion [J]. Journal of Banking and Finance, 2002, 26:1505-1508.
[81] Acerbi C and Tasche D. On the Coherence of Expected Shortfall [J]. Journal of Banking and Finance, 2002, 26:1487-1503.
[82] Acerbi C and Simonetti P. Portfolio Optimization with Spectral Measures of Risk [EB/OL]. Abaxbank, 2002.
[83] Alexander G J and Baptista A M. Economic Implications of Using a Mean-VaR Model for Portfolio Selection: A Comparison with Mean-Variance Analysis [J]. Journal of Economic Dynamics and Control, 2002, 26: 1159-1193.
[84] Alexander G J and Baptista A M. A Comparison of VaR and CVaR Constraints on Portfolio Selection with the Mean-Variance Model [J]. Management Science, 2004, 9: 1261-1273.
[85] Andersen F, Mausser H, Rosen D and Uryasev S. Credit Risk Optimization with Conditional Value-at-Risk Criteria [J]. Mathematical Programming, 2000, Ser.B, 89:273-291.
[86] Artzner P, Delbaen F and Eber J M. and Heath D. Thinking Coherently [J]. Risk, 1997, 10:68-71.
[87] Artzner P, Delbaen F, Eber J M and Heath D. Coherent Measures of Risk [J]. Mathematical Finance, 1999, 9: 203-228.
[88] Artzner P. Application of Coherent Risk Measures to Capital Requirements in Insurance [J]. North American Actuarial Journal, 1999, 3(2): 11-25.
[89] Artzner P, Delbaen F, Eber J M, Heath D and Ku H. Coherent Multiperiod Risk Measurement [EB/OL]. University Louis Pasteur, 2002.
[90] Arzac E R, Bawa V S. Portfolio Choice and Equilibrium in Capital Markets with Safety-First Investors [J]. Journal of Financial Economics, 1977,4: 277-288
[91] Barone-Adesi G, Giannopoulos K and Vosper L. VaR without Correlations for Portfolios of Derivative Securities [J]. Journal of Futures Markets, 1999, 19: 583-602.
[92] Barone-Adesi G, Giannopoulos K and Vosper L. Backtesting Derivative Portfolios with Filtered Historical Simulation [J]. European Financial Management, 2002, 8: 31-58.
[93] Basak S and Shapiro A. Value-at-Risk Based Risk Management: Optimal Policies and Asset Prices [J]. Review of Financial Studies, 2001, 14(2): 371-405.
[94] Baumol W J. An Expected Gain-Confidence Limit Criterion for Portfolio Selection [J]. Management Science, 1964, 10: 174-182.
[95] Bawa V S. Optimal Rules for Ordering Uncertain prospects [J]. Journal of Financial Economics, 1975,10: 849-857.
[96] Bawa V S. Admissible Portfolio for All Individuals [J]. Journal of Finance, 1976, XXXI, No.4: 1169-1183.
[97] Bawa V S. Safety-First, Stochastic Dominance, and Optimal Portfolio Choice [J]. Journal of Financial and Quantitative Analysis, 1978, 6: 255-271.
[98] Beder T S. VaR: Seductive but Dangerous [J]. Financial Analyst Journal, 1995, 9-10:12-24
[99] Bertsimas D, Lauprete G J and Samarov A. Shortfall as a Risk Measure: Properties, Optimization and Applications [J]. Journal of Economic Dynamics& Control, 2004, 28:1353-1381.
[100] Bogentoft E, Romeijn H E and Uryasev S. Asset/Liability Management for Pension Funds Using CVaR Constraints [J]. Journal of Risk Finance, 2001, fall: 57-71.
[101] Boyle P, Broadie M and Glasserman P. Monte Carlo Methods for Security Pricing [J]. Journal of Economic Dynamics and Control, 1997, 21:1267-1321.
[102] Campbell J Y, Lo A W and MacKinlay A C. The Econometrics of Financial Markets [M]. New Jersey: Princeton University Press, 1997.
[103] Campbell R, Huisman R, Koedijk K G. Optimal Portfolio Selection in a Value-at-Risk Framework [J]. Journal of Banking and Finance, 2001, 9: 1789-1804.
[104] Cass D and Stiglitz J E. The Structure of Investor Preferences and Asset Returns, and Separability in Portfolio Allocation: A Contribution to the Pure Theory of Mutual Funds [J]. Journal of Economic Theory, 1970,2(2):122-160.
[105] Chekhlov A, Uryasev S, and M Zabarankin. Portfolio Optimization with Drawdown Constraints [A]. In: B Scherer eds. Asset and Liability Management Tools, Risk Books[M]. London, 2003:263-278.
[106] Chekhlov A, Uryasev S, and M Zabarankin. DrawDown Measure in Portfolio Optimization [J]. International Journal of Theoretical and Applied Finance, 2005,8(1): 13-58.
[107] Cherny A S and Madan D B. Pricing and Hedging in Incomplete Markets with Coherent Risk [EB/OL]. University of Maryland, 2006.
[108] Chiodi L, Mansini R and Speranza M G. Semi-Absolute Deviation Rule for Mutual Funds Portfolio Selection [J]. Annals of Operations Research, 2003, 124: 245-265.
[109] Cotter J and Dowd K. Extreme Spectral Risk Measures: An Application to Futures Clearinghouse Margin Requirements [J]. Journal of Banking and Finance, 2006, 30: 3469-3485.
[110] Cvitanic J and Karatzas I. On Dynamic Measures of Risk [J]. Finance and Stochastics, 1999,3: 451-482.
[111] Danielsson J, Jorgensen B N, Sarma M and de Vries C G. Sub-additivity Re-examined: the Case for Value-at-Risk [EB/OL], London School of Economics, 2005.
[112] Danielsson J, Jorgensen B N, Sarma M and de Vries C G. Consistent Measures of Risk [EB/OL]. Econpapers, 2006.
[113] De Giorgi E. Reward-Risk Portfolio Selection and Stochastic Dominance [J]. Journal of Banking and Finance, 2005,29: 895-926.
[114] Dembo R S and King A J. Tracking Models and the Optimal Regret Distribution in Asset Allocation [J]. Applied Stochastic Models and Data Analysis, 1992, 8:151-157.
[115] Dembo R S and Rosen D. The Practice of Portfolio Replication: a Practical Overview of Forward and Inverse Problems [J]. Annals of Operations Research, 1999, 85: 267-284.
[116] Denault M. Coherent Allocation of Risk Capital [J]. Journal of Risk, 2001, 4: 1-34.
[117] Dentcheva D, Ruszczynski A. Optimization with Stochastic Dominance Constraints [J]. SIAM Journal on Optimization, 2003, 14: 548-556.
[118] Dhaene J, Vanduffel S, Tang Q, Goovaerts M J, Kaas R, Vyncke D. Risk Measures and Optimal Portfolio Selection [R]. Lyon: Proceedings of the Seventh International Congress on Insurance: Mathematics and. Economics,2003.
[119] Dhaene J, Laeven R J A, Vanduffel S, Darkiewicz G and Goovaerts M J. Can a Coherent Risk Measure Be Too Subadditive? [EB/OL]. The Pensions Institute Cass Busines School, 2005.
[120] Dowd K and Blake D. After VaR: the Theory, Estimation, and Insurance Applications of Quantile-Based Risk Measures [J]. Journal of Risk and Insurance, 2006, 73(2): 193-229.
[121] Duarte A M. Fast Computation of Efficient Portfolios [J]. Journal of Risk, 1999,1(4): 71-94.
[122] Duffie D, Pan J. An overview of value at risk [J]. Journal of Derivatives, 1997, 5:7-49.
[123] Efron B. Better Bootstrap Confidence Intervals [J]. Journal of the American Statistical Association, 1987, 82: 171-200.
[124] Ellsberg D. Risk, Ambiguity, and the Savage Axioms [J]. Quarterly Journal of Economics, 1961, 75:643-669.
[125] Embrechts P. Modelling Extremal Events for Insurance and Finance [M]. New York: Springer, 1997.
[126] Embrechts P, McNeil A and Straumann D. Correlation and Dependence in Risk Management: Properties and Pitfalls[A]. In: Dempster M and Moffatt H, eds. Risk Management: Value at Risk and Beyond [M]. New York: Cambridge University Press, 2002, 176-223.
[127] Fama E F. the Behavior of Stock-Market Prices [J]. Journal of Business, 1965, 38:34-105.
[128] Fang K T and Anderson T W. Statistical Inference in Elliptically Contoured and Related Distributions [M]. Allerton Press, 1990.
[129] Feinstein C D and Thapa M N. A Reformulation of a Mean-Absolute Deviation Portfolio Optimization Model [J]. Management Science, 1993, 39:1552-1553.
[130] Fishburn P C. Mean-Risk Analysis with Risk Associated with Below Target Returns [J]. American Economic Review, 1977, 1: 116-126.
[131] Fishburn P C. Stochastic Dominance and Moments of Distributions [J]. Mathematical of Operations Research, 1980, 5:94-100.
[132] Follmer H, Schied A. Convex Measures of Risk and Trading Constraints [J]. Finance and Stochastics, 2002, 6: 429-447.
[133] Gaivoronski G A, Plug G. Finding Optimal Portfolios with Constraints on Value at Risk[R]. Stockholm:Proceedings of the III Stockholm Seminar on Risk Behavior and Risk Management, 1999, 1.
[134] Giannopoulos K and Tunaru R. Coherent Risk Measures under Filtered Historical Simulation [J]. Journal of Banking and Finance, 2005, 29: 979-996.
[135] Goovaerts, M J, DeVylder F and Haezendonck J. Insurance Premiums: Theory and Applications [M]. North-Holland, Amsterdam, 1984.
[136] Goovaerts M J, Kaas R and Dhaene J. Economic Capital Allocation Derived From Risk Measures [J]. North American Actuarial Journal, 2003, 7(2): 44-59.
[137] Gotoh J and Konno H. Third Degree Stochastic Dominance and Mean-Risk Analysis [J]. Management Science, 2000, 46: 289-301.
[138] Grootveld H and Hallerbach W. Variance vs Downside Risk: Is There Really That Much Difference? [J]. European Journal of Operational Research, 1999, 114:304-319.
[139] Hadar J and Russell W. Rules for Ordering Uncertain Prospects [J]. American Economic Review, 1969, 59:25-34.
[140] Hanoch G and Levy H. The Efficiency Analysis of Choices Involving Risk [J]. Review of Economic Studies, 1969, 36:335-346.
[141] Harlow W V, Ramesh K S Rao. Asset Pricing in a Generalized Mean-Lower Partial Moment Framework: Theory and Evidence [J]. Journal of Financial and Quantitative Analysis, 1989,24:285-311.
[142] Huang Chi-fu and Litzenberger R.H. Foundations for Financial Economics [M]. New York: North-Holland, 1988.
[143] Ingersoll J E. Theory of Financial Decision Making [M].Totowa, New Jersey: Rowman&Littlefield Publishers, Inc., 1987.
[144] Jackson P, Maude D J, Perrandin W. Bank Capital and Value at Risk [J]. Journal of Derivatives, 1996,2: 39-70.
[145] Jorion P. Value at Risk : the New Benchmark for Managming Financial Risk [M]. McGraw-Hill, Inc., 2001.
[146] Joy C, Boyle P.P. and Tan K.S. Quasi-Monte Carlo Methods in Numerical Finance [J]. Management Science, 1996, 42(6): 926-938.
[147] Kahneman D and Tversky A. Prospect Theory: An Analysis of Decision under Risk [J]. Econometrica, 1979,47: 263-291.
[148] Kamdem J S. Value at Risk and Expected Shortfall for Linear Portfolios with Elliptically Distributed Risk Factors [EB/OL]. EconWPA, Risk and Insurance, 2004a.
[149] Kamdem J S. VaR and ES for Linear Portfolios with Mixture of Generalized Laplace Distributed Risk Factors [EB/OL]. EconWPA, Risk and Insurance, 2004b.
[150] Kataoka S. A Stochastic Programming Model [J]. Econometrica, 1963, 31:181-196.
[151] Kellerer H, Mansini R and Speranza M G. Selecting Portfolios with Fixed Costs and Minimum Transaction Lots [J]. Annals of Operations Research, 2000, 99:287-304.
[152] Kevin Dowd. Beyond Value at Risk [M]. Chichester: John Wiley & Sons, 1998.
[153] King B. Market and Industry Factors in Stock Price Behavior [J]. Journal of Business, 1966, 39:139-140.
[154] Konno H and Wrjayanayake A. Portfolio Optimization Problem under Concave Transaction Costs and Minimal Transaction Unit Constraints [J]. Mathematical Programming, 2001, 89: 233-250.
[155] Konno H and Yamazaki H. Mean Absolute Deviation Portfolio Optimization Model and Its Application to Tokyo Stock Market [J]. Management Science, 1991,37:519-531.
[156] Krokhmal P, Palmquist J S. Uryasev. Portfolio Optimization with Conditional Value-At-Risk Objective and Constraints [J]. Journal of Risk, 2002, 4(2):43-68.
[157] Kroll Y, Levy H and Markowitz H. Mean-Variance Versus Direct Utility Maximization [J]. Journal of Finance, 1984, 39: 47-62.
[158] Kusuoka S. On law Invariant Coherent Risk Measures [J]. Advances in Mathematical Economics, 2001, 3: 83-95.
[159] Landsman Z and Emiliano A V. Tail Conditional Expectations for Elliptical Distribution [J]. North American Actuarial Journal, 2002, 7:55-71.
[160] Levy H. Stochastic Dominance and Expected Utility: Survey and Analysis [J]. Management Science, 1992, 38(4): 555-593.
[161] Levy H and KrollY. Ordering Uncertain Options with Borrowing and Lending [J]. Journal of Finance, 1978, 33: 553-573.
[162] Lichtenstein S and Slovic P. Reversals of Preference between Bids and Choices in Gambling Decisions [J]. Journal of Experimental Psychology, 1971, 89:46-55.
[163] Linsmeier T J, Neil D Pearson. Value at Risk [J]. Financial Analyst Journal, 2000, Vol. 56, No. 2: 47-67.
[164] Lucas A, Klaassen P. Extreme Returns, Downside Risk and Optimal Asset Allocation [J]. Journal of Portfolio Management, 1998, 25(1): 71-79.
[165] Mandelbrot B.B. New Methods in Statistical Economics [J]. Journal of Political Economy, 1963, 71:421-440.
[166] Mandelbrot B.B. the Variation of Certain Speculative Prices [J]. Journal of Business, 1963, 394-419.
[167] Mansini R., Ogryczak W. and Speranza M. G. On LP Solvable Models for Portfolio Selection [J]. Informatica, 2003,14:37-62.
[168] Mansini R., Ogryczak W. and Speranza M.G. LP Solvable Models for Portfolio Optimization: A Classification and Computational Comparison [M]. IMA Journal of Management Mathematics, 2003,14:187-220.
[169] Mansini R and Speranza M G An Exact Approach for the Portfolio Selection Problem with Transaction Costs and Rounds [J]. IIE Transactions, 2005, 37: 919-929.
[170] Markowitz H M. Portfolio Selection [J]. Journal of Finance, 1952, 7: 77-91.
[171] Mausser H, Rosen D. Efficient Risk/Return Frontiers for Credit Risk [J]. ALGO Research Quarterly, 1999, 2(4): 35-48.
[172] Merton R C. An Analytical Derivation of the Efficient Portfolio Frontier [J]. Journal of Financial and Quantitative Analysis, 1972, 7:1851-1872.
[173] Merton R C. Continuous-Time Finance [M].Malden: Blackwell Publishing, 1990.
[174] Michalowski W, Ogryczak W. Extending the MAD Portfolio Optimization Model to Incorporate Downside Risk Aversion [J]. Naval Research Logistics, 2001,48:185-200.
[175] Muliere P and Scarsini M. A Note on Stochastic Dominance and Inequality Measure [J]. Journal of Economic Theory, 1989, 49: 314-323.
[176] Ogryczak W and Opolska-Rutkowska M. SSD Consistent Criteria and Coherent Risk Measures [A]. In: System Modeling and Optimization, Proceedings of the 22nd IFIP TC7 Conference [C]. Springer 2006, 226-237.
[177] Ogryczak W and Ruszczynski A. From Stochastic Dominance to Mean-Risk Models: Semidevations as Risk Measures [J]. European Journal of Operational Research, 1999, 116:33-50.
[178] Ogryczak W and Ruszczynski A. On Consistency of Stochastic Dominance and Mean Semideviation Models [J]. Mathematical Programming, 2001:89:217-232.
[179] Ogryczak W and Ruszczynski A. Dual Stochastic Dominance and Related Mean-Risk Models [J]. SIMA Optimization, 2002,18(1): 60-78.
[180] Ogryczak W and Ruszczynski A. Dual Stochastic Dominance and Quantile Risk Measures [J]. International Transactions in Operational Research, 2002, 9: 661-680.
[181] Paskov S.H. and Traub J.F. Faster Valuation of Financial Derivatives [J]. Journal of Portfolio Management, 1995, 3: 267-279.
[182] Penza P and Bansal V K. Measuring Market Risk with Value at Risk [M].New York: John Wiley&Sons, 2001.
[183] Pflug G. Some Remarks on the Value-at-Risk and the Conditional Value-at-Risk [A]. In: Probabilistic Constrained Optimization. In: S Uryasev eds. Methodology and Applications [M]. Boston: Kluwer Academic Publishers, 2000.
[184] Porter R B and Gaumnitz J E. Stochastic Dominance vs Mean-Variance Portfolio Analysis: an Empirical Evaluation [J]. American Economic Review, 1972,62:438-446.
[185] Pritsker M. The Hidden Dangers of Historical Simulation [J]. Journal of Banking and Finance, 2006, 30: 561-582.
[186] Quirk J and Saposnik R. Admissibility and Measurable Utility Functions [J]. Review of Economic Studies, 1962, 29: 140-146.
[187] Rockafellar R T. Convex Analysis [M]. Princeton University Press, 1970.
[188] Rockafellar R T and Uryasev S. Optimization of Conditional Value-at-Risk [J]. Journal of Risk, 2000,2:21-41.
[189] Rockafellar R T and Uryasev S. Conditional Value-at-Risk for General Loss Distributions [J]. Journal of Banking and Finance, 2002,26(7): 1443-1471.
[190] Rockafellar R T, Uryasev S and Zabarankin M. Deviation Measures in Risk Analysis and Optimization [R]. Research Report 2002-7, Department of Industrial and Systems Engeering, University of Florida, 2002a.
[191] Rockafellar R T, Uryasev S and Zabarankin M. Deviation Measures in Generalized Linear Regression [R]. Research Report 2002-9, Department of Industrial and Systems Engeering, University of Florida, 2002b.
[192] Rockafellar R T, Uryasev S and Zabarankin M. Master Funds in Portfolio Analysis with General Deviation Measures [J]. Journal of Banking and Finance, 2006, 30:743-778.
[193] Roll R. A Mean/Variance Analysis of Tracking Error [J]. Journal of Portfolio Management, 1992,18:13-22.
[194] Ross S. M., Simulation [M].Singapore: Academic Press, 2002.
[195] Rothschild M, Stiglitz J E. Increasing Risk: I A definition [J]. Journal of Economic Theory, 1970, 2: 225-243.
[196] Roy A D. Safety First and the Holding of assets [J]. Econometrica, 1952, 20: 431-439.
[197] Ruszczynski A, Vanderbei R J. Frontiers of Stochastically Nondominated Portfolios [J]. Econometrica, 2003, 71:1287-1297.
[198] Samuelson P A. The Fundamental Approximation Theorem of Portfolio Analysis in terms of Means, Variances, and Higher Moments [J]. Review of Economic Studies, 1970, 37: 537-542.
[199] Schulmerich M and Trautmann S. Local Expected Shortfall-Hedging in Discrete Time [J]. European Finance Review, 2003, 7(1):75-102.
[200] Shalit H and Yitzhaki S. The Mean-Gina Efficient Portfolio Frontier [J]. Journal of Financial Research, 2005, XXVIII, 59-75.
[201] Shapiro A, Wardi Y. No differentiability of the Steady-State Function in Discrete Event Dynamic Systems [J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 1994,39:1707-1711.
[202] Simian Y. Estimation Risk in Portfolio Selection: the Mean Variance Model Virus the Mean Absolute Deviation Model [J]. Management Science, 1997, 43: 1437-1446.
[203] Sortino F A and Forsey H J. On the Use and Misuse of Downside Risk [J]. Journal of Portfolio Management, 1996, winter: 35-42.
[204] Stambaugh F. Risk and Value-at-Risk [J]. European Management Journal, 1996,14:612-621.
[205] Szego G. Measures of Risk [J]. Journal of Banking and Finance, 2002, 26: 1253-1272.
[206] Telser L G. Safety First and Hedging [J]. Review of Economic Studies, 1955, 23:1-16
[207] Tobin J. Liquidity Preference as Behavior towards Risk [J]. Review of Economic Studies, 1958, 25:65-86.
[208] Topaloglou N, Vladimirou H and Zenios S A. CVaR Models with Selective Hedging for International Asset Allocation [J]. Journal of Banking and Finance, 2002, 26:1535-1561.
[209] Wang S S. Premium Calculation by Transforming the Layer Premium Density [J]. Astin Bulletin, 1996, 26(1):71-92.
[210] Wang S S. A Class of Distortion Operations for Pricing Financial and Insurance Risks [J]. Journal of Risk and Finance, 2000, 67: 15-36.
[211] Wang S S, Young V R and Panjer H H. Axiomatic Characterization of Insurance Prices, 1997, 21: 173-183.
[212] Wang Shouyang and Xia Yusen. Portfolio Selection and Asset Pricing [M]. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2002.
[213] Yamai Y and Yoshiba T. Comparative Analysis of Expected Shortfall and Value-at-Risk: Their Estimation Error, Decomposition and Optimization [J]. Monetary and Economic Studies, 2002a, 20: 87-122.
[214] Yamai Y and Yoshiba T. Comparative Analysis of Expected Shortfall and Value-at-Risk: Their Validity under Market Stress [J]. Monetary and Economic Studies, 2002b, 20: 81-237.
[215] Yitzhaki S. Stochastic Dominance, Mean Variance, and Gini's Mean Difference [J]. American Economic Review, 1982, 72(1):178-185.
[216] Yitzhaki S. On an Extension of the Gini Inequality Index [J]. International Economic Review, 1983,24: 617-628.
[217] Yitzhaki S. More Than a Dozen Alternative Ways of Spelling Gini [J]. Reseach on Economic Inequality, 1998,8:13-30.
[218] Young M R. A Minimax Portfolio Selection Rule with Linear Programming Solution [J]. Management Science, 1998,44(5):673-683.
[219] Zenios S A and Kang P. Mean-Absolute Deviation Portfolio Optimization for Mortgage-backed Securities [J]. Annals of Operations Research, 1993,45: 433-450.
[220] Ziemba W T and Mulvey J M. Worldwide Asset and Liability Modeling [M]. Cambridge:Cambridge University Press, 1998.